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Physique quantique : Exercices et applications
Utiliser le théorème de Wigner-Eckart (10.150) pour montrer
jm|V z |jm
′ =
m
j(j +1)
J ·
V δ mm ′
(16.32)
où
V est un opérateur vectoriel.
3. Le deutéron est formé d’un proton et d’un neutron qui se trouvent
dans un état
3
S 1 . Le deutéron est en fait un mélange de
3
S 1 et de
3
D 1 ,m a i s
nous ignorerons la (petite) composante
3
D 1 . En déduire la valeur du moment
magnétique du deutéron : µ D =0 .88µ N , ce qui est en bon accord avec la
valeur expérimentale µ
exp
D =0.86µ N . Montrer que l’on peut écrire l’opérateur
moment magnétique dipolaire du deutéron en fonction de son spin
S D
µ D =0.86
q P
2m p
S D = γ D
S D
4. L’électron de l’atome de deutérium dans son état fondamental interagit avec le moment magnétique du deutéron suivant une interaction effective
(15.30)
W = −
2µ 0
3
γ D γ e (
S D ·
S e )δ( r )
où µ 0 est la perméabilité du vide, γ e le facteur gyromagnétique de l’électron et
S e son spin. Montrer que la moyenne spatiale de cette interaction transforme
celle-ci en couplage effectif des deux spins
W =
A D
2 (
S D ·
S e )
Calculer le rapport A D /A,o ùA est la constante (15.32) obtenue pour l’hydrogène, et donner la valeur de A D en eV.
5. Soit
F =
S D +
S e , le moment angulaire total de l’atome dans son
état fondamental. Quelles sont les deux valeurs possibles de F ? Déterminer
l’énergie des deux niveaux hyperfins en fonction de A D et leur dégénérescence.
6. L’atome de deutérium est plongé dans un champ magnétique
B parallèle
à Oz, B z = B>0. Écrire la perturbation W due à l’interaction de l’atome
avec le champ magnétique, en remarquant que M D ≫ m e . Montrer que les
éléments de matrice de W dans la base |F, m F sont de la forme
W mF m ′
F
= −
q e B
m e
m F
2F (F +1)
F (F +1)−
5
4
δ mF m ′
F
Tracer qualitativement les niveaux d’énergie en fonction de B. Quelle condition doit-on avoir sur B pour que les niveaux d’énergie soient donnés correctement par la formule précédente ?
Physique quantique : Exercices et applications
Utiliser le théorème de Wigner-Eckart (10.150) pour montrer
jm|V z |jm
′ =
m
j(j +1)
J ·
V δ mm ′
(16.32)
où
V est un opérateur vectoriel.
3. Le deutéron est formé d’un proton et d’un neutron qui se trouvent
dans un état
3
S 1 . Le deutéron est en fait un mélange de
3
S 1 et de
3
D 1 ,m a i s
nous ignorerons la (petite) composante
3
D 1 . En déduire la valeur du moment
magnétique du deutéron : µ D =0 .88µ N , ce qui est en bon accord avec la
valeur expérimentale µ
exp
D =0.86µ N . Montrer que l’on peut écrire l’opérateur
moment magnétique dipolaire du deutéron en fonction de son spin
S D
µ D =0.86
q P
2m p
S D = γ D
S D
4. L’électron de l’atome de deutérium dans son état fondamental interagit avec le moment magnétique du deutéron suivant une interaction effective
(15.30)
W = −
2µ 0
3
γ D γ e (
S D ·
S e )δ( r )
où µ 0 est la perméabilité du vide, γ e le facteur gyromagnétique de l’électron et
S e son spin. Montrer que la moyenne spatiale de cette interaction transforme
celle-ci en couplage effectif des deux spins
W =
A D
2 (
S D ·
S e )
Calculer le rapport A D /A,o ùA est la constante (15.32) obtenue pour l’hydrogène, et donner la valeur de A D en eV.
5. Soit
F =
S D +
S e , le moment angulaire total de l’atome dans son
état fondamental. Quelles sont les deux valeurs possibles de F ? Déterminer
l’énergie des deux niveaux hyperfins en fonction de A D et leur dégénérescence.
6. L’atome de deutérium est plongé dans un champ magnétique
B parallèle
à Oz, B z = B>0. Écrire la perturbation W due à l’interaction de l’atome
avec le champ magnétique, en remarquant que M D ≫ m e . Montrer que les
éléments de matrice de W dans la base |F, m F sont de la forme
W mF m ′
F
= −
q e B
m e
m F
2F (F +1)
F (F +1)−
5
4
δ mF m ′
F
Tracer qualitativement les niveaux d’énergie en fonction de B. Quelle condition doit-on avoir sur B pour que les niveaux d’énergie soient donnés correctement par la formule précédente ?