Chapitre 3
71
Nous utilisons l’équation 3/23 en prenant garde aux unités. Comme 𝑣 est
indépendant de 𝑝, l’intégration se fait sans peine : ̇
𝑊 A→B = ̇
𝑚 ∫
B
A 𝑣 d𝑝 =
̇
𝑚 𝑣 𝐿 ∫
B
A d𝑝 = ̇
𝑚 𝑣 𝐿 [𝑝]
𝑝 B
𝑝 A = 2 × 10 −3
( 20 ⋅ 10 5 − 1 ⋅ 10 5
) = +3,8 ⋅ 10 3 W =
+3,8 kW.
Cette puissance est bien positive : c’est le fluide dans le système
qui reçoit du travail.
Ici le volume spécifique 𝑣 𝐿 est constant (comme toujours avec
l’eau liquide). Si c’était la pression qui était constante, alors le travail
serait nul même si 𝑣 était amené à varier.
Exemple 3.4
Un compresseur compresse lentement un débit d’air de 2 kg s −1 depuis
1 bar jusqu’à 20 bar. Pendant la compression, le volume spécifique et
la pression de l’air sont liés par la relation 𝑝 𝑣 1,35 = 𝑘. À l’entrée, le
volume spécifique de l’air est de 𝑣 A = 0,8 m 3 kg
−1 .
Quelle est la puissance consommée sous forme de travail ?
Sur un diagramme pression-volume et de façon qualitative, l’évolution
peut être représentée ainsi :
Ici le volume spécifique est fonction de la pression : nous avons 𝑣 =
(
𝑘
𝑝 )
1
1,35
= 𝑘
1
1,35 𝑝
−
1
1,35 . Nous partons de l’équation 3/23 :
̇
𝑊 A→B = ̇
𝑚 ∫
B
A 𝑣 d𝑝 = ̇
𝑚 𝑘
1
1,35 ∫
B
A 𝑝
−
1
1,35 d𝑝 = ̇
𝑚 𝑘
1
1,35
[
1
−
1
1,35 +1
𝑝
−
1
1,35 +1
]
𝑝 B
𝑝 A
= ̇
𝑚 ( 𝑝 A 𝑣
1,35
A )
1
1,35
1
0,25926 [ 𝑝 0,25926
]
𝑝 B
𝑝 A
= 2 ( 1 ⋅ 10 5 × 0,8 1,35
)
1
1,35
1
0,25926 [ ( 20 ⋅ 10 5
)
0,25926
− ( 1 ⋅ 10 5
)
0,25926
]
= +7,247 ⋅ 10 5 W = +724,7 kW.
Ici la clé est de bien décrire la fonction 𝑣 (𝑝) avant de procéder à
l’intégration.
https://thermodynamique.fr – CC-by-sa Olivier Cleynen