44
Chapitre 2
Il nous faut d’abord connaître entièrement la loi reliant 𝑝 à 𝑣 ; ensuite
nous procéderons à l’intégration − ∫ 𝑝 d𝑣 pendant l’évolution pour calculer le travail.
Commençons par calculer les volumes spécifiques au départ et à l’arrivée : 𝑣 A =
𝑉 A
𝑚 =
0,25⋅10 −3
0,3⋅10 −3 = 0,833 m 3 kg
−1 . De même, 𝑣 B =
𝑉 B
𝑚 =
5,867 m 3 kg
−1 . Maintenant, nous pouvons calculer 𝑘 1 :
𝑝 A 𝑣
𝑘 1
A = 𝑝 B 𝑣
𝑘 1
B
(
𝑣 A
𝑣 B )
𝑘 1
=
𝑝 B
𝑝 A
𝑘 1 ln
(
𝑣 A
𝑣 B )
= ln
(
𝑝 B
𝑝 A )
𝑘 1 =
ln (
𝑝 B
𝑝 A )
ln (
𝑣 A
𝑣 B )
=
ln (
1
12 )
ln (
0,833
5,867 )
= 1,2733
Et avec 𝑘 1 , nous pouvons calculer 𝑘 2 = 𝑝 A 𝑣
𝑘 1
A = 12 ⋅ 10 5 × 0,833 1,2733 =
9,514 ⋅ 10 5 u.si.
𝑘 1 est un exposant et n’a pas d’unités. Les unités de 𝑘 2 ne nous
intéressent pas.
Même si elle peut paraître laborieuse, cette démarche « nous
avons un modèle général pour la tendance, quels sont les paramètres
pour ce cas particulier ? » est très courante en physique, et extrêmement utile pour l’ingénieur/e.
Nous savons maintenant décrire quantitativement les propriétés pendant l’évolution : 𝑝𝑣 1,2733 = 9,514 ⋅ 10 5 . Il n’y a plus qu’à effectuer
notre intégration habituelle : 𝑤 A→B = − ∫
B
A 𝑝 d𝑣 = −𝑘 2 ∫
B
A 𝑣 −𝑘 1 d𝑣 =
−9,514⋅10 5
−0,2733 [ 𝑣 −0,2733
]
5,867
0,833
= −1,513 ⋅ 10 6 J kg
−1 = −1 513 kJ kg
−1 . Nous multiplions par la masse de gaz pour obtenir le travail : 𝑊 A→B = 𝑚 𝑤 A→B =
−453,8 J.
Ce calcul peut être effectué de façon plus rapide, sans calculer
les valeurs de 𝑣 A , 𝑣 B et 𝑘 2 . Toutefois, pour être certain/e de parvenir
au résultat, il est plus sûr et plus facile de quantifier 𝑝 et 𝑣 (en si) à
tous les stades de l’évolution avant de débuter une intégration.
Thermodynamique de l’ingénieur par Olivier Cleynen