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Chapitre 4
Solutions des exercices
4.1 1) 𝑣 1 =
𝑉 1
𝑚 1
= 0,4 m
3 kg
−1 ; 𝜌 1 =
1
𝑣 1
= 2,5 kg m
−3
2) 𝑝 1 =
𝑅𝑇 1
𝑣 1
= 2,103 bar.
4.2 1) 𝑚 1 =
𝑝 1 𝑉 1
𝑅𝑇 1
= 3,006 kg ; 𝑣 1 = 0,3991 m
3 kg
−1 ;
𝜌 1 = 2,505 kg m
−3 ; 𝑝 1 = 2 bar ;
𝑚 2 = 𝑚 1 ; 𝑣 1 = 𝑣 2 ; 𝜌 1 = 𝜌 2 ; 𝑝 2 =
𝑅𝑇 2
𝑣 2
= 2,395 bar.
2) 𝑚 3 = 2,51 kg, ainsi 𝑚 échap. = 𝑚 3 − 𝑚 2 0,4959 kg ;
3) 𝑝 4 =
𝑅𝑇 4 𝑚 4
𝑉 4
= 1,67 bar.
4.3 Δ𝑢 = 𝑐 𝑣 𝑇 3 − 𝑢 1 = −622 kJ kg
−1 (se calcule simplement avec la température finale et ne dépend pas
de l’évolution ou des états intermédiaires).
4.4 𝑤 1→2 = Δℎ = 𝑐 𝑝 Δ𝑇 = +85,4 kJ kg
−1 (3/15 & 4/13)
4.5 1) Avec l’équation 3/15, 𝑤 turbine = 𝑐 𝑝 (𝑇 B − 𝑇 A ) +
1
2 (𝐶
2
B − 𝐶
2
A ) − 𝑞 A→B = −275 kJ kg
−1
2) ̇
𝑚 =
̇
𝑊 turbine
𝑤 turbine
= 3,64 kg s
−1
4.6
2) Avec l’équation 4/26, 𝑤 1→2 = +257,58 kJ kg
−1
(donc un travail reçu) ; 𝑊 1→2 = +901,2 kJ ; 𝑄 1→2 =
−𝑊 1→2 (donc une dépense de chaleur)
3) Oui, on aurait 𝑣 2ad.rév. = 𝑣 1 (
𝑝 1
𝑝 2 )
1
𝛾
> 𝑣 2isoth. =
𝑣 1 (
𝑝 1
𝑝 2 ) .
4.7
2) 𝑊 1→3 = − ∫
2
1
𝑝 d𝑉 − ∫
3
2
𝑝 d𝑉 = −𝑝 cste Δ𝑉 − 0 =
+144 kJ
3) 𝑄 1→3 = 𝑈 3 − 𝑈 1 − 𝑊 1→3 = 𝑚𝑐 𝑣 ( 𝑇 3 −
𝑝 1 𝑉 1
𝑚𝑅 ) −
𝑊 1→3 = −616,5 kJ
4.8
Cas optimal : compression adiabatique réversible.
Avec l’équation 4/37, on calcule 𝑇 B = 896,4 K ;
𝑊 minimal = 𝑚 𝑐 𝑣 (𝑇 B − 𝑇 A ) = +2,166 MJ.
4.9 Isotherme 2 → 3, isochore 1 → 2.
4.10
Dans le sens horaire, en débutant à l’horizontale, sur
les deux graphiques : isobare (𝑝 cste.), isotherme
(𝑇 cste.), adiabatique réversible, isochore (𝑣 cst.).
4.11
1) Remplacer 𝑣 2 par
𝑅𝑇 2
𝑝 2
, faire de même avec 𝑣 1 .
Dérouiller son algèbre et le résultat vient tout
seul ;
2) Avec l’équation 4/37, on obtient 𝑇 B = 600,7 K,
ainsi ̇
𝑊 A→B = +20,87 MW ;
3) §4.4.5 ;
5) 𝑇 C = 279,8 K ; 𝑇 D = 753,1 K ; Ainsi
̇
𝑊 compresseur réel = ̇
𝑊 pertes frottementA→C + ̇
𝑊 C→D =
+29,29 MW (+40 %).
4.12
1) voir §1.3 p. 16 & §2.4.1 p. 37;
2) 𝑊 A→B = −𝑚 ∫
B
A
𝑝 d𝑣 = +1,298 kJ
3) Avec 𝑝 B = 𝑘𝑣
−1,5
B
= 31,6 bar, on a 𝑇 B = 926,3 K.
Enfin, 𝑄 A→B = Δ𝑈 − 𝑊 A→B = +0,3254 kJ.
5) À pression constante, avec l’équation 4/17, 𝑇 C =
𝑄 B→C
𝑚 𝑐 𝑝
+ 𝑇 B = 1 483,7 K (1 211
◦ C).
6) 𝑆 <
𝐹 max.
𝑝 C
= 3,164 ⋅ 10
−3 m
2 (diamètre 𝐷 max =
6,35 cm).
Thermodynamique de l’ingénieur par Olivier Cleynen