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Chapitre 4
On peut aussi exprimer le travail en fonction de la pression, puisqu’avec
l’équation 4/25 on a :
𝑣 1
𝑣 2
=
𝑝 2
𝑝 1
ainsi :
𝑤 1→2 = 𝑅 𝑇 cste ln
(
𝑝 2
𝑝 1 )
(4/27)
lors d’une évolution réversible à température constante, en système fermé.
« Lorsqu’un gaz varie de volume
sans changer de température, les quantités de chaleur absorbées ou dégagées par
ce gaz sont en progression arithmétique,
si les accroissemens ou les réductions de
volume se trouvent être en progression
géométrique. Lorsque l’on comprime un
litre d’air maintenu à la température 10°
et qu’on le réduit à 1/2 litre, il se dégage
une certaine quantité de chaleur. Cette
quantité se trouvera toujours la même
si l’on réduit de nouveau le volume de
1/2 litre à de 1/4 de litre, de 1/4 de litre
à 1/8, ainsi de suite. »
Sadi Carnot, 1824 [4]
La chaleur peut être quantifiée aisément. En effet, l’énergie interne ne varie
pas :
𝑞 1→2 = Δ𝑢 − 𝑤 1→2 = 0 − 𝑤 1→2
𝑞 1→2 = −𝑤 1→2
(4/28)
lors d’une évolution réversible à température constante, en système fermé.
Lorsque l’évolution se fait en système ouvert, nous avons 𝑞 1→2 + 𝑤 1→2 = Δℎ
et, si l’évolution est réversible, la chaleur et le travail peuvent être quantifiés
de la même façon :
𝑤 1→2 = ∫
2
1
𝑣 d𝑝 = ∫
2
1
𝑅 𝑇 cste
𝑝
d𝑝 = 𝑅 𝑇 cste ∫
2
1
1
𝑝
d𝑝 = 𝑅 𝑇 cste [ln 𝑝]
𝑝 2
𝑝 1
𝑤 1→2 = 𝑅 𝑇 cste ln
(
𝑝 2
𝑝 1 )
= 𝑅 𝑇 cste ln
(
𝑣 1
𝑣 2 )
(4/29)
lors d’une évolution réversible à température constante, en système ouvert.
Cette relation, identique à l’équation 4/27, n’aura pas surpris l’étudiant/e
perspicace, puisque la relation 𝑝𝑣 = cste. assure que pour deux points
donnés en figure 4.11, l’aire sous la courbe est toujours égale à l’aire à
gauche de la courbe.
La chaleur à fournir se quantifie bien sûr sans peine :
𝑞 1→2 = Δℎ − 𝑤 1→2 = 0 − 𝑤 1→2
𝑞 1→2 = −𝑤 1→2
(4/30)
lors d’une évolution réversible à température constante, en système ouvert.
Exemple 4.7
Pour l’air, on mesure 𝑐 𝑝 (air) = 1 005 J kg
−1 K −1 , 𝑐 𝑣 (air) = 718 J kg
−1 K −1 ,
𝑅 air = 287 J kg
−1 K −1 .
Une masse de 2,5 kg d’air dans un réservoir est à pression de 2 bar et
température de 800 ◦ C. On souhaite lui fournir 100 kJ de chaleur sans
modifier sa température. Quel doit être le transfert de travail ? Quels
seront le volume et la pression au final ?
Le travail est facile à déterminer : 𝑊 A→B + 𝑄 A→B = Δ𝑈 = 0 ici car la
température ne varie pas. Ainsi 𝑊 A→B = −𝑄 A→B = −100 kJ (le gaz doit
dépenser autant de travail qu’il reçoit de chaleur).
Thermodynamique de l’ingénieur par Olivier Cleynen