32
CHAPITRE 4. L'OSCILLATEUR HARMONIQUE
Exercice 4.2. [AD] [OH quantique.] Repondre aux questions de l'Ex. 4.1. On
donne le resultat suivant : le nombre de manieres de decomposer un entier donne
M comme somme de N entiers positifs ou nuls 1 est (Nt~- 1 ).
On s'interessera aux diverses limites N --t 00,/3--t 0.
Le calcul de la fonction de partition canonique Z de N oscillateurs, a cause de la
factorisation, etait rapide; celui de la fonction de partition microcanonique a necessite
une astuce. Le probleme suivant permet d'eviter l'astuce en calculant la fonction de
partition microcanonique comme transformee de Laplace inverse de Z.
Exercice 4.3. [DJ [Laplace inverse.] En definissant correctement le contour d'integration dans le plan complexe, calculer la transformee de Laplace inverse de Z.
Le theoreme d'equipartition de l'energie justifie aisement la loi de Dulong et Petit
qui stipule que la chaleur specifique des solides vaut 3kbN, Elle suppose un hamiltonien
classique, somme d'une partie cinetique et potentielle harmonique. Notons que ce
resultat reste vrai quelles que soient les frequences d'oscillation des atomes. Mais
!'experience prouve qu'a basse temperature, Cv --t 0. Dans un article fameux de
1907, A. Einstein, va proposer un modele non classique ou tousles N atomes vibrent
harmoniquement avec une energie par a tome donnee par 2
( 4.1)
ou le 3 tient a la dimension de l'espace.
Exercice 4.4. [Modele d'Einstein] Calculer, avec le modele d'Einstein, la chaleur
specifique par atome deduite de l'Eq. 4.1. Comparer au resultat original d'Einstein
de la Fig. 4.1. Expliciter les limites a haute et basse temperature.
1 Pour montrer cette formule, l'astuce consiste a identifier ce denombrement a celui des fa;:ons de combiner
N - 1 barres parmi N - 1 + M objets composes des barres et de M points.
2 En verite, Einstein n'avait pas le facteur 1/2, correspondant a l'energie de point zero. Mais ceci ne change
presque rien aux calculs qui suivent.
CHAPITRE 4. L'OSCILLATEUR HARMONIQUE
Exercice 4.2. [AD] [OH quantique.] Repondre aux questions de l'Ex. 4.1. On
donne le resultat suivant : le nombre de manieres de decomposer un entier donne
M comme somme de N entiers positifs ou nuls 1 est (Nt~- 1 ).
On s'interessera aux diverses limites N --t 00,/3--t 0.
Le calcul de la fonction de partition canonique Z de N oscillateurs, a cause de la
factorisation, etait rapide; celui de la fonction de partition microcanonique a necessite
une astuce. Le probleme suivant permet d'eviter l'astuce en calculant la fonction de
partition microcanonique comme transformee de Laplace inverse de Z.
Exercice 4.3. [DJ [Laplace inverse.] En definissant correctement le contour d'integration dans le plan complexe, calculer la transformee de Laplace inverse de Z.
Le theoreme d'equipartition de l'energie justifie aisement la loi de Dulong et Petit
qui stipule que la chaleur specifique des solides vaut 3kbN, Elle suppose un hamiltonien
classique, somme d'une partie cinetique et potentielle harmonique. Notons que ce
resultat reste vrai quelles que soient les frequences d'oscillation des atomes. Mais
!'experience prouve qu'a basse temperature, Cv --t 0. Dans un article fameux de
1907, A. Einstein, va proposer un modele non classique ou tousles N atomes vibrent
harmoniquement avec une energie par a tome donnee par 2
( 4.1)
ou le 3 tient a la dimension de l'espace.
Exercice 4.4. [Modele d'Einstein] Calculer, avec le modele d'Einstein, la chaleur
specifique par atome deduite de l'Eq. 4.1. Comparer au resultat original d'Einstein
de la Fig. 4.1. Expliciter les limites a haute et basse temperature.
1 Pour montrer cette formule, l'astuce consiste a identifier ce denombrement a celui des fa;:ons de combiner
N - 1 barres parmi N - 1 + M objets composes des barres et de M points.
2 En verite, Einstein n'avait pas le facteur 1/2, correspondant a l'energie de point zero. Mais ceci ne change
presque rien aux calculs qui suivent.