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CHAPITRE 11. FLUIDES QUANTIQUES
systeme infini de fermions en interaction, ou bien pour un systeme infini a temperature
non nulle. Le cas a 3d est un peu plus complique 4 •
Solution 11.4
1. De l'Eq. 11.6 on tire :
1
n·
1 + ,!3(µ-E;) = - - et {3(µ-E;) = log- 1 - .
1-n;
1-n;
Combinant les Eqs. 11.3 et 11.4, on obtient
Or
1 ologZg
S=kblogZg-T o/3
ologZg
JJ(µ-E;)
0/3 = })µ - E;) 1 + ef3(J1-Ei l ·
I
Utilisant les Eqs. 11.9, on deduit
ologZg = ~ In;log~.
0/3
f3 .
l-n1
l
(11.9)
(11.10)
Apres avoir remplace logZg par - L; log( 1- n;), on reporte clans l'Eq. 11.4 de
l' enonce et on retrouve le resultat demande.
2. Nous voulons montrer que la distribution de Fermi-Dirac maximise l'entropie 5 ,
compte tenu des contraintes sur I' energie moyenne et le nombre moyen de
particules :
E= In;E; et N= In;.
.
.
I
I
On introduit deux parametres de Lagrange ;t1 et ;t2, et l'on minimise, par rapport
a chaque n;, la quantite :
I~ -k, ~ [n; log n; + (1-n;)Ln(l-n;)]-A1 [ ~ n;-N]-A, [ ~ n;<;-El
4 Voir par exemple « Finite size effects on the momentum distribution of non interacting fermions », Nucl.
Phys. A457 (1986), 125.
5 Voir dans l'appendice !'analogue de ce calcul dans le cas classique.