CHAPITRE 10
Matrices aleatoires
Solution 10.1
1. II est facile de voir pourquoi R est une transformation unitaire elementaire.
Posons E = ~' calculons Rn (en diagonalisant R). On voit que
lim Rn= ( c?se -sine),
n->oo
Sill e COS e
qui est une matrice de rotation d'angle e. On a utilise le fait que
ie
·e
lim (1 + - )'1 = e' .
11->oo
n
2. La nouvelle matrice s'ecrira
H' =R- 1 HR,
avec les elements
a'
a+2Eb
b'
b+E(c-a)
c'
c-2Eb,
d'ou, par un developpement limite
8Pa
Pa(a) + 2Eb aa
8Pb
= Pb(b)+E(c-a) ab
8P,
= P,(c)-2Ebac,
De l'Eq. 10.1 de l'enonce, on tire en multipliant les trois equations precedentes
et en se limitant au terme en E