SOLUTIONS DES EXERCICES
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2. Comme clans le cas microcanonique, on va calculer la seule dependance en p 1
de la distribution de probabilite de p 1• On peut de plus supposer !'existence d'un
potentiel V(q). On integre sur toutes les variables sauf p 1 :
-f3 Pi + ,_,3N P; + V( )
(
2
2
)
- 2m LJ2 2m
q
P(pi )dpi ~ dpi I dp2 · · · dp3N I dq e
.
L'integration sur q et P2,p3 · · · ,P3N donne une constante multiplicative. Reste
done
Pt
P(pi)dpi ~ dpi e-f32m,
qu'il suffira de normaliser pour avoir la densite de probabilite de p 1•
Remarque: Lorsqu'il s'agit de calculer une probabilite, on ne s'embarrasse pas des
prefacteurs, qu'on calcule a la fin, en normalisant.
Solution 2.5 Soit P;(v;) les densites de distribution de vitesse des particules (i = 1, 2).
Ona
3
1
v 2
P ( ) ( m;/3) 2 _lf3m-v2 ( 1 ) 2 - 2;2
i v; = -
e 2 ' ' = - - e ' '
2,r
21rcr 2
I
avec er; = ni;/3. La vitesse relative est v = V2 - v 1. Soit Q( v) sa densite de distribution,
c'est-a-dire que Q(v) dv est la probabilite de trouver une vitesse relative (v2 -vi) E
[ v + dv, v]. Puisque les particules sont independantes, on peut ecrire
Q(v) dv = L Pi (vi)P2(v2) dv 1dv2,
ou 1) est le domaine (v2 -v1) E [ v + dv, v]. Soit, en explicitant
Q(v) dv = ( Pi (vi) dv1 { (
P2(V2) dv2}.
Jv1
Jv2E[v+v1,v+v1 +dv]
Si dv est petit, on peut remplacer l'integrale entre accolades par la valeur de !'integrand
en un point quelconque du (petit) domaine multiplie par son volume. C'est le theoreme
de la moyenne (a 3d). Il reste
Q(v)dv={l
1
P1(vi)P2(v1 +v)dv1}dv.
On peut bien sur faire le calcul, mais il est plus elegant de remarquer que Q(v) apparait
comme le produit de convolution de P1 avec P2• Pour le voir ii suffit de changer, clans