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CHAPITRE 2. DISTRIBUTION DES VITESSES
dont la solution generale est Ae-bx, ou A et b sont des constantes arbitraires.
Il reste done
(2.5)
ou A et b sont > 0.
La normalisation entraine A = ( ~ ) 3 1 2 • On ecrira, puisque P ne depend que du
module c de la vitesse :
( b)
3 /
2
2
P(c) = ;. e-bc .
Il ne reste plus qu'un parametre, b. On verra a l'Ex. 2.3 que
m
b = 2kbT'
ou T est la temperature et kb la constante de Boltzmann.
Remarque: L'hypothese a la base de la demonstration precedente n'est pas du tout
evidente I : on n'a pas demontre que les trois variables aleatoires U, V, W etaient independantes. Et ce n'est pas le cas a priori: les vitesses resultent de collisions elastiques
ou l' energie cinetique se conserve.
Solution 2.2 W(c) de sera obtenue en integrant P(c) dcxdcydc2 sur les angles clans le
domaine (c, c+ de). La symetrie spherique donne alors
Le maximum c0 de W(c) est racine de W'(c) = 0, soit 2c-2c 3 b = 0, ou encore
1
Co= -yb,
1 Cette demonstration avait ete formulee par Maxwell en janvier 1860 clans le Philosophical Magazine. A la
fin de sa vie ii ecrira clans le meme journal en 1866: "As this assumption may appear precarious, I shall
now determine the form of the function in a different manner" [ Comme cette hypothese ( d'independance
des coordonnees) peut paraitre incertaine, je vais a present determiner la forme de cette fonction d'une
fa~on differente].
CHAPITRE 2. DISTRIBUTION DES VITESSES
dont la solution generale est Ae-bx, ou A et b sont des constantes arbitraires.
Il reste done
(2.5)
ou A et b sont > 0.
La normalisation entraine A = ( ~ ) 3 1 2 • On ecrira, puisque P ne depend que du
module c de la vitesse :
( b)
3 /
2
2
P(c) = ;. e-bc .
Il ne reste plus qu'un parametre, b. On verra a l'Ex. 2.3 que
m
b = 2kbT'
ou T est la temperature et kb la constante de Boltzmann.
Remarque: L'hypothese a la base de la demonstration precedente n'est pas du tout
evidente I : on n'a pas demontre que les trois variables aleatoires U, V, W etaient independantes. Et ce n'est pas le cas a priori: les vitesses resultent de collisions elastiques
ou l' energie cinetique se conserve.
Solution 2.2 W(c) de sera obtenue en integrant P(c) dcxdcydc2 sur les angles clans le
domaine (c, c+ de). La symetrie spherique donne alors
Le maximum c0 de W(c) est racine de W'(c) = 0, soit 2c-2c 3 b = 0, ou encore
1
Co= -yb,
1 Cette demonstration avait ete formulee par Maxwell en janvier 1860 clans le Philosophical Magazine. A la
fin de sa vie ii ecrira clans le meme journal en 1866: "As this assumption may appear precarious, I shall
now determine the form of the function in a different manner" [ Comme cette hypothese ( d'independance
des coordonnees) peut paraitre incertaine, je vais a present determiner la forme de cette fonction d'une
fa~on differente].