CHAPITRE 2
Distribution des vitesses
Solution 2.1 Soit F(u) la loi de probabilite (inconnue) de u. A cause de la propriete
d'isotropie de l'espace, les deux autres variables aleatoires vet w obeissent a la meme
loi. A cause de l'independance des probabilites, on aura de plus
P(u, v, w) dudvdw = F(u)F(v)F(w) dudvdw.
(2.1)
L'isotropie impose de plus
P(u, v, w) = F(u)F(v)F(w) = f(u 2 + v 2 + w 2 ),
(2.2)
ou f est la fonction qu' on cherche a determiner. On a :
P(u,0,0) = F(u)F(0) 2 = f(u 2 ).
(2.3)
Reutilisons l'Eq. 2.2 avec w = 0, puis l'Eq. 2.3. 11 vient :
Soit encore, a l'aide de l'Eq. 2.2 avec u = v = w = 0,
!( 2 2) _ f(u 2 )f(v 2 )
u +v -
f(O)
.
(2.4)
Verifions que seule l'exponentielle satisfait une equation de type
(
) - g(x)g(y)
g x+y - g(O) .
En effet
g(x+h)-g(x) g(x) g(h)-g(O)
=
h
g(O)
h
Soit, en prenant la limh---->O des deux membres :
I
g' (O)
g (x) = g(x) g(O) ,