CHAPITRE 10
Matrices aleatoires
H
ISTORIQUEMENT, les matrices aleatoires ont ete introduites en 1955 par Eugene
Wigner pour rendre compte de la distribution statistique des niveaux d'energie
de noyaux atomiques. Par diffusion de neutrons on met en evidence des millions
d'etats excites qu'il est illusoire (et sans interet) de vouloir decrire un par un. On
s'interesse plutot aux proprietes statistiques du spectre. L'idee est de remplacer la
matrice hamiltonienne (inconnue) decrivant ces etats par un ensemble de matrices
dont les elements sont des variables aleatoires. Les proprietes statistiques des niveaux
d'energie seront alors celles des valeurs propres de ces matrices. Cette demarche est
analogue a celle de la mecanique statistique traditionnelle ou on renonce egalement a
la description detaillee des microetats au profit d'hypotheses probabilistes generales.
De meme qu'en mecanique statistique, ces hypotheses doivent verifier les lois de
conservation, de meme les matrices aleatoires doivent, suivant les problemes, respecter
des symetries. Le parallele avec l'Ex. 2.1, ou l'on a derive la distribution maxwellienne
des vitesses a partir des seules considerations de symetrie et d'homogenei:te est frappant.
Dans ce qui suit, nous considererons des matrices reelles symetriques 1 , invariantes par
rotation. Nous nous limiterons meme au cas de matrices 2 x 2 qui permet un calcul
explicite et donne une image de la situation a dimension superieure.
Exercice 10.1. [ADJ On considere l'ensemble des matrices 2 x 2 reelles et symetriques
H=(: : )
ou on suppose que a, b et c sont des variables aleatoires independantes dont on va
determiner les lois de probabilite, Pa(a), Pb(b) et P,(c). On appelle P(H) la densite
de probabilite conjointe de tirer a, b et c. L'independance implique
P(H) = Pa(a) Pb (b) Pc(c).
( 10.1)
1 Pour que l'energie soit reelle.
Matrices aleatoires
H
ISTORIQUEMENT, les matrices aleatoires ont ete introduites en 1955 par Eugene
Wigner pour rendre compte de la distribution statistique des niveaux d'energie
de noyaux atomiques. Par diffusion de neutrons on met en evidence des millions
d'etats excites qu'il est illusoire (et sans interet) de vouloir decrire un par un. On
s'interesse plutot aux proprietes statistiques du spectre. L'idee est de remplacer la
matrice hamiltonienne (inconnue) decrivant ces etats par un ensemble de matrices
dont les elements sont des variables aleatoires. Les proprietes statistiques des niveaux
d'energie seront alors celles des valeurs propres de ces matrices. Cette demarche est
analogue a celle de la mecanique statistique traditionnelle ou on renonce egalement a
la description detaillee des microetats au profit d'hypotheses probabilistes generales.
De meme qu'en mecanique statistique, ces hypotheses doivent verifier les lois de
conservation, de meme les matrices aleatoires doivent, suivant les problemes, respecter
des symetries. Le parallele avec l'Ex. 2.1, ou l'on a derive la distribution maxwellienne
des vitesses a partir des seules considerations de symetrie et d'homogenei:te est frappant.
Dans ce qui suit, nous considererons des matrices reelles symetriques 1 , invariantes par
rotation. Nous nous limiterons meme au cas de matrices 2 x 2 qui permet un calcul
explicite et donne une image de la situation a dimension superieure.
Exercice 10.1. [ADJ On considere l'ensemble des matrices 2 x 2 reelles et symetriques
H=(: : )
ou on suppose que a, b et c sont des variables aleatoires independantes dont on va
determiner les lois de probabilite, Pa(a), Pb(b) et P,(c). On appelle P(H) la densite
de probabilite conjointe de tirer a, b et c. L'independance implique
P(H) = Pa(a) Pb (b) Pc(c).
( 10.1)
1 Pour que l'energie soit reelle.