2.3 Équations générales des systèmes électromécaniques
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action entraîne la stationnarité de l’intégrale d’action, soit :
dS = d
t 2
t 1
L (q, ˙
q, t) dt = 0
(2.31)
La variation dq étant indépendante du temps, la variation de l’action donne :
dS =
t 2
t 1
dL (q, ˙
q, t) dt =
t 2
t 1
∂ L
∂q
dq +
∂ L
∂ ˙
q
d ˙
q
dt
=
t 2
t 1
∂ L
∂q
dq +
∂ L
∂ ˙
q
d
dt
dq
dt = 0
(2.32)
Il vient alors, après intégration par partie du deuxième terme de l’intégrale :
dS =
∂ L
∂ ˙
q
dq
t 2
t 1
−
t 2
t 1
d
dt
∂ L
∂ ˙
q
−
∂ L
∂q
dqdt = 0
(2.33)
La variation de coordonnée étant nulle aux instants t 1 et t 2 , le premier terme de la
formule (2.33) disparaît. D’autre part, la stationnarité de l’intégrale d’action devant
être assurée quelle que soit la variation dq, l’expression entre parenthèses dans l’intégrale doit être identiquement nulle. Ce raisonnement se généralise aisément au cas
d’un système à n degrés de liberté. Par conséquent, le principe de moindre action se
traduit sous forme différentielle par n équations indépendantes, appelées équations
de Lagrange en mécanique, et données par :
d
dt
∂ L
∂ ˙
q l −
∂ L
∂q l = 0 l ∈ {1, . . . , n}
(2.34)
Reprenant l’exemple de la particule (les q
l s’identifient dans ce cas aux trois coordonnées spatiales et les ˙
q
l aux composantes du vecteur vitesse), le calcul des ∂ L/∂ ˙
q
l
à l’aide de l’expression (2.28) montre que ces termes correspondent aux composantes
p l de la quantité de mouvement, ou impulsion, de la particule (p tend vers mv pour
v c). Quant aux termes ∂ L/∂q
l qui s’annulent en l’absence d’énergie potentielle
(cas de la particule libre), ils correspondent aux composantes de la force f l s’exerçant
sur la particule.
Ainsi, sur cet exemple simple, les équations (2.34) équivalent au principe fondamental de la dynamique. Elles en constituent cependant une alternative puissante dans
le cas général. En effet, comparé aux formulations standard de la mécanique « vectorielle » (théorèmes généraux), le jeu d’équations à traiter, formulé au niveau même
des degrés de liberté du système, s’en trouve grandement réduit (exception faite des
cas triviaux ou exemples à vocation pédagogique pour lesquels le formalisme lagrangien n’apporte pas de simplification notoire). Remarquons également que la forme
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action entraîne la stationnarité de l’intégrale d’action, soit :
dS = d
t 2
t 1
L (q, ˙
q, t) dt = 0
(2.31)
La variation dq étant indépendante du temps, la variation de l’action donne :
dS =
t 2
t 1
dL (q, ˙
q, t) dt =
t 2
t 1
∂ L
∂q
dq +
∂ L
∂ ˙
q
d ˙
q
dt
=
t 2
t 1
∂ L
∂q
dq +
∂ L
∂ ˙
q
d
dt
dq
dt = 0
(2.32)
Il vient alors, après intégration par partie du deuxième terme de l’intégrale :
dS =
∂ L
∂ ˙
q
dq
t 2
t 1
−
t 2
t 1
d
dt
∂ L
∂ ˙
q
−
∂ L
∂q
dqdt = 0
(2.33)
La variation de coordonnée étant nulle aux instants t 1 et t 2 , le premier terme de la
formule (2.33) disparaît. D’autre part, la stationnarité de l’intégrale d’action devant
être assurée quelle que soit la variation dq, l’expression entre parenthèses dans l’intégrale doit être identiquement nulle. Ce raisonnement se généralise aisément au cas
d’un système à n degrés de liberté. Par conséquent, le principe de moindre action se
traduit sous forme différentielle par n équations indépendantes, appelées équations
de Lagrange en mécanique, et données par :
d
dt
∂ L
∂ ˙
q l −
∂ L
∂q l = 0 l ∈ {1, . . . , n}
(2.34)
Reprenant l’exemple de la particule (les q
l s’identifient dans ce cas aux trois coordonnées spatiales et les ˙
q
l aux composantes du vecteur vitesse), le calcul des ∂ L/∂ ˙
q
l
à l’aide de l’expression (2.28) montre que ces termes correspondent aux composantes
p l de la quantité de mouvement, ou impulsion, de la particule (p tend vers mv pour
v c). Quant aux termes ∂ L/∂q
l qui s’annulent en l’absence d’énergie potentielle
(cas de la particule libre), ils correspondent aux composantes de la force f l s’exerçant
sur la particule.
Ainsi, sur cet exemple simple, les équations (2.34) équivalent au principe fondamental de la dynamique. Elles en constituent cependant une alternative puissante dans
le cas général. En effet, comparé aux formulations standard de la mécanique « vectorielle » (théorèmes généraux), le jeu d’équations à traiter, formulé au niveau même
des degrés de liberté du système, s’en trouve grandement réduit (exception faite des
cas triviaux ou exemples à vocation pédagogique pour lesquels le formalisme lagrangien n’apporte pas de simplification notoire). Remarquons également que la forme