2.3 Équations générales des systèmes électromécaniques
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généralement difficiles à expliciter). En outre, pour des systèmes dont la nature n’est
pas seulement mécanique, la notion de coordonnée généralisée permet d’englober
dans le paramétrage des grandeurs physiques autres que les variables géométriques.
Ainsi, la quantité de charge accumulée sur les armatures d’un condensateur ou encore
les composantes du pseudo-vecteur champ magnétique pourront-elles jouer le rôle de
coordonnées généralisées pour un système électromécanique (cf. § 3.2.2).
Désignons par
q
1 , q
2 , . . . , q
n
, ou plus brièvement par q, l’ensemble des n coordonnées généralisées caractérisant le système et par
˙
q
1 , ˙
q
2 , . . . , ˙
q
n
, respectivement
˙
q, les n vitesses généralisées qui s’en déduisent par simple dérivation temporelle. Remarquons que la donnée de ces deux jeux de variables détermine complètement l’état
du système, en ce sens que la connaissance des coordonnées et des vitesses à un instant donné suffit en principe à prédire son mouvement futur. Pour formuler la loi du
mouvement, le principe de moindre action, ou principe de Hamilton, constitue sans
nul doute une des formulations les plus universelles dont dispose le physicien, et celà
face à des questions dépassant très largement le cadre de la mécanique analytique
dans lequel il a été initialement développé [42]. Selon ce principe, tout système est
caractérisé par une fonction scalaire des coordonnées, des vitesses et du temps, appelée fonction de Lagrange (ou lagrangien) et notée L (q, ˙
q, t), telle que, entre deux
dates t 1 et t 2 pour lesquelles le système occupe deux positions bien déterminées, son
évolution s’opère de manière à ce que l’intégrale
S =
t 2
t 1
L (q, ˙
q, t) dt
(2.27)
soit extrémale. L’intégrale S est appelée intégrale d’action, ou plus simplement action. Notons que si l’intervalle de temps [t 1 , t 2 ] correspond à une portion de trajectoire suffisamment petite pour ne pas contenir de points conjugués (cf. condition de
Jacobi), l’extremum de S est nécessairement un minimum.
Dès lors, parmi toutes les trajectoires possibles (i.e. compatibles avec les degrés
de liberté) reliant les positions occupées par le système aux instants t 1 et t 2 , la loi
de mouvement effectivement suivie minimise (ou maximise) l’intégrale d’action.
Contrairement aux formulations différentielles (principe fondamental de la dynamique) qui décrivent le mouvement au travers des écarts caractérisant deux états
infiniment proches, la présente formulation adopte un point de vue radicalement différent consistant à envisager les conséquences d’une variation globale de trajectoire
(ou tout au moins d’une portion non-infinitésimale). Elle constitue en cela un principe
variationnel.
Examinons à titre d’exemple le cas d’une particule élémentaire de masse m évoluant librement dans l’univers quadridimensionnel. La fonction de Lagrange associée
est donnée par :
L = −mc
2
1 −
v 2
c 2
(2.28)
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généralement difficiles à expliciter). En outre, pour des systèmes dont la nature n’est
pas seulement mécanique, la notion de coordonnée généralisée permet d’englober
dans le paramétrage des grandeurs physiques autres que les variables géométriques.
Ainsi, la quantité de charge accumulée sur les armatures d’un condensateur ou encore
les composantes du pseudo-vecteur champ magnétique pourront-elles jouer le rôle de
coordonnées généralisées pour un système électromécanique (cf. § 3.2.2).
Désignons par
q
1 , q
2 , . . . , q
n
, ou plus brièvement par q, l’ensemble des n coordonnées généralisées caractérisant le système et par
˙
q
1 , ˙
q
2 , . . . , ˙
q
n
, respectivement
˙
q, les n vitesses généralisées qui s’en déduisent par simple dérivation temporelle. Remarquons que la donnée de ces deux jeux de variables détermine complètement l’état
du système, en ce sens que la connaissance des coordonnées et des vitesses à un instant donné suffit en principe à prédire son mouvement futur. Pour formuler la loi du
mouvement, le principe de moindre action, ou principe de Hamilton, constitue sans
nul doute une des formulations les plus universelles dont dispose le physicien, et celà
face à des questions dépassant très largement le cadre de la mécanique analytique
dans lequel il a été initialement développé [42]. Selon ce principe, tout système est
caractérisé par une fonction scalaire des coordonnées, des vitesses et du temps, appelée fonction de Lagrange (ou lagrangien) et notée L (q, ˙
q, t), telle que, entre deux
dates t 1 et t 2 pour lesquelles le système occupe deux positions bien déterminées, son
évolution s’opère de manière à ce que l’intégrale
S =
t 2
t 1
L (q, ˙
q, t) dt
(2.27)
soit extrémale. L’intégrale S est appelée intégrale d’action, ou plus simplement action. Notons que si l’intervalle de temps [t 1 , t 2 ] correspond à une portion de trajectoire suffisamment petite pour ne pas contenir de points conjugués (cf. condition de
Jacobi), l’extremum de S est nécessairement un minimum.
Dès lors, parmi toutes les trajectoires possibles (i.e. compatibles avec les degrés
de liberté) reliant les positions occupées par le système aux instants t 1 et t 2 , la loi
de mouvement effectivement suivie minimise (ou maximise) l’intégrale d’action.
Contrairement aux formulations différentielles (principe fondamental de la dynamique) qui décrivent le mouvement au travers des écarts caractérisant deux états
infiniment proches, la présente formulation adopte un point de vue radicalement différent consistant à envisager les conséquences d’une variation globale de trajectoire
(ou tout au moins d’une portion non-infinitésimale). Elle constitue en cela un principe
variationnel.
Examinons à titre d’exemple le cas d’une particule élémentaire de masse m évoluant librement dans l’univers quadridimensionnel. La fonction de Lagrange associée
est donnée par :
L = −mc
2
1 −
v 2
c 2
(2.28)