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2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
2.3 ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES
ÉLECTROMÉCANIQUES
L’équilibre dynamique des systèmes électro-magnéto-mécaniques est régit par un ensemble d’équations aux dérivées partielles impliquant les quantités scalaires, vectorielles ou plus généralement tensorielles qui caractérisent les milieux continus à
l’échelle macroscopique locale (potentiels, champ électromagnétique, champ de déformation, etc.). Connaissant les sollicitations d’origine extérieure auxquelles le système est soumis, la résolution de ces équations permet de déterminer la distribution
spatio-temporelle des grandeurs locales caractéristiques de l’état du système. On peut
alors en déduire l’évolution des variables décrivant son comportement global (force,
vitesse, tension, courant, etc.). Fondements de l’électromécanique, les équations du
champ électromagnétique et celles qui gouvernent la mécanique des milieux continus appartiennent à deux branches de la physique bien distinctes. Elles sont de ce
fait généralement traitées dans le cadre de théories spécifiques. Pourtant, en tant que
loi régissant le « mouvement » généralisé des corps matériels, des charges et des
champs, ces équations dynamiques possèdent un fondement commun. La logique
adoptée dans la présente section vise précisément à traiter les équations de l’électroet de l’élasto-dynamique comme la conséquence d’un seul et même principe physique, le principe de moindre action.
2.3.1 Principe de moindre action
Considérons le cas général d’un système possédant n degrés de liberté, c’est-à-dire
un système dont la « position » est déterminée de manière univoque par la donnée
de n grandeurs indépendantes appelées coordonnées généralisées
(1) . Ainsi, pour un
système mécanique formé de N points matériels, ce nombre s’identifie aux 3N coordonnées cartésiennes qui repèrent chacun de ses points dans l’espace tridimensionnel.
Notons que, au delà de ce repérage « naturel », il sera souvent commode de choisir un
système de coordonnées généralisées spécifiquement adapté à la structure et à la nature du système étudié. Par exemple, un système mécanique articulé impliquant des
éléments en rotation sera avantageusement paramétré en fonction des angles indépendants qui définissent la configuration de ses axes (plutôt qu’en choisissant un repérage
cartésien sur la base duquel les relations de liaison limitant les degrés de liberté sont
(1) Ceci suppose en toute rigueur que le système ne comporte aucune liaison non-holonôme. Un système est
dit holonôme, de même que les contraintes qui lui sont associées, lorsque les formes différentielles traduisant
les liaisons cinématiques entre ses différents sous-ensembles sont intégrables. Ces contraintes peuvent alors
être formulées à l’aide des coordonnées généralisées uniquement. La dimension n de l’espace de configuration
s’identifie dans ce cas au nombre de degrés de liberté du système. En revanche, lorsque ce dernier comporte
des liaisons non-holonômes (par exemple une condition de roulement avec glissement), les contraintes correspondantes réduisent d’autant le nombre de degrés de liberté, bien qu’aucunes variables ne puissent être
éliminées du jeu de coordonnées initial. Dès lors, la dimension n de l’espace de configuration est égale au
nombre de degrés de liberté augmenté du nombre de conditions non-holonomes.
2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
2.3 ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES
ÉLECTROMÉCANIQUES
L’équilibre dynamique des systèmes électro-magnéto-mécaniques est régit par un ensemble d’équations aux dérivées partielles impliquant les quantités scalaires, vectorielles ou plus généralement tensorielles qui caractérisent les milieux continus à
l’échelle macroscopique locale (potentiels, champ électromagnétique, champ de déformation, etc.). Connaissant les sollicitations d’origine extérieure auxquelles le système est soumis, la résolution de ces équations permet de déterminer la distribution
spatio-temporelle des grandeurs locales caractéristiques de l’état du système. On peut
alors en déduire l’évolution des variables décrivant son comportement global (force,
vitesse, tension, courant, etc.). Fondements de l’électromécanique, les équations du
champ électromagnétique et celles qui gouvernent la mécanique des milieux continus appartiennent à deux branches de la physique bien distinctes. Elles sont de ce
fait généralement traitées dans le cadre de théories spécifiques. Pourtant, en tant que
loi régissant le « mouvement » généralisé des corps matériels, des charges et des
champs, ces équations dynamiques possèdent un fondement commun. La logique
adoptée dans la présente section vise précisément à traiter les équations de l’électroet de l’élasto-dynamique comme la conséquence d’un seul et même principe physique, le principe de moindre action.
2.3.1 Principe de moindre action
Considérons le cas général d’un système possédant n degrés de liberté, c’est-à-dire
un système dont la « position » est déterminée de manière univoque par la donnée
de n grandeurs indépendantes appelées coordonnées généralisées
(1) . Ainsi, pour un
système mécanique formé de N points matériels, ce nombre s’identifie aux 3N coordonnées cartésiennes qui repèrent chacun de ses points dans l’espace tridimensionnel.
Notons que, au delà de ce repérage « naturel », il sera souvent commode de choisir un
système de coordonnées généralisées spécifiquement adapté à la structure et à la nature du système étudié. Par exemple, un système mécanique articulé impliquant des
éléments en rotation sera avantageusement paramétré en fonction des angles indépendants qui définissent la configuration de ses axes (plutôt qu’en choisissant un repérage
cartésien sur la base duquel les relations de liaison limitant les degrés de liberté sont
(1) Ceci suppose en toute rigueur que le système ne comporte aucune liaison non-holonôme. Un système est
dit holonôme, de même que les contraintes qui lui sont associées, lorsque les formes différentielles traduisant
les liaisons cinématiques entre ses différents sous-ensembles sont intégrables. Ces contraintes peuvent alors
être formulées à l’aide des coordonnées généralisées uniquement. La dimension n de l’espace de configuration
s’identifie dans ce cas au nombre de degrés de liberté du système. En revanche, lorsque ce dernier comporte
des liaisons non-holonômes (par exemple une condition de roulement avec glissement), les contraintes correspondantes réduisent d’autant le nombre de degrés de liberté, bien qu’aucunes variables ne puissent être
éliminées du jeu de coordonnées initial. Dès lors, la dimension n de l’espace de configuration est égale au
nombre de degrés de liberté augmenté du nombre de conditions non-holonomes.