40
2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
et H k , d’autre part. Dès lors, les relations (2.16) et (2.17) fusionnent en une seule et
même équation gouvernant la polarisation électrique et magnétique de la matière :
F
lm = m 0
G
lm
− M
lm
(2.18)
(on rappelle que e 0 m 0 c
2 = 1).
2.2.3 Déformation des milieux continus
Outre sa capacité à se polariser, la matière constituant les systèmes électromécaniques est également susceptible de se déformer. Cette déformation résulte en pratique des efforts statiques et dynamiques auxquels sont sousmis les éléments fixes et
mobiles des objets considérés. Elle peut également trouver son origine dans les couplages électro-magnéto-élastiques qui s’opèrent au coeur même de la matière (piézoélectricité, magnétostriction, etc.).
Afin d’établir succintement les principaux résultats de la théorie classique des
milieux continus déformables (solides), étudions, comme l’illustre la figure 2.2, les
conditions de transformation d’un corps de forme quelconque, rapporté à un repère
orthonormé
O, x
1 = x, x
2 = y, x
3 = z
(1) . Pour chaque point matériel M du corps
déformé, on peut, connaissant sa situation M 0 au repos (avant déformation), définir
le vecteur u (M) = M 0 M, appelé vecteur déplacement. La connaissance de u en tout
point du solide définit complètement la transformation du corps.
Une autre manière de définir la déformation du milieu consiste à s’intéresser aux
variations que subit la distance élémentaire séparant deux points infiniment proches.
Avant déformation, le carré de cette distance s’écrit
(2) :
dl
2
0 = dx
2
i
(2.19)
tandis que l’on a pour le corps déformé :
dl
2 = (dx i + du i )
2 = (dx i + ∂ k u i dx k )
2
= dx
2
i + 2 ∂ k u i dx i dx k + ∂ i u j ∂ k u j dx i dx k
(2.20)
Il vient alors :
dl
2 = dl
2
0 + 2 S ik dx i dx k
(2.21)
avec :
S ik =
1
2
∂ k u i + ∂ i u k + ∂ i u j ∂ k u j
(1) La théorie des milieux continus déformables peut être développée dans le contexte plus général de coordonnées curvilignes (cf. section A.4). Le recours à un tel formalisme offre alors l’avantage, en théorie de
l’élasticité notamment, de s’adapter à des géométries très variées (disques, tubes, coques, etc.) [40].
(2) On rappelle que, l’espace étant ici rapporté à un repère orthonormé, il n’y a pas lieu de distinguer les
composantes contravariantes et covariantes des vecteurs et tenseurs considérés (cf. annexe A.2.2). Les indices
sont donc systématiquement placés au bas des lettres supports qui désignent les quantités considérées.
2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
et H k , d’autre part. Dès lors, les relations (2.16) et (2.17) fusionnent en une seule et
même équation gouvernant la polarisation électrique et magnétique de la matière :
F
lm = m 0
G
lm
− M
lm
(2.18)
(on rappelle que e 0 m 0 c
2 = 1).
2.2.3 Déformation des milieux continus
Outre sa capacité à se polariser, la matière constituant les systèmes électromécaniques est également susceptible de se déformer. Cette déformation résulte en pratique des efforts statiques et dynamiques auxquels sont sousmis les éléments fixes et
mobiles des objets considérés. Elle peut également trouver son origine dans les couplages électro-magnéto-élastiques qui s’opèrent au coeur même de la matière (piézoélectricité, magnétostriction, etc.).
Afin d’établir succintement les principaux résultats de la théorie classique des
milieux continus déformables (solides), étudions, comme l’illustre la figure 2.2, les
conditions de transformation d’un corps de forme quelconque, rapporté à un repère
orthonormé
O, x
1 = x, x
2 = y, x
3 = z
(1) . Pour chaque point matériel M du corps
déformé, on peut, connaissant sa situation M 0 au repos (avant déformation), définir
le vecteur u (M) = M 0 M, appelé vecteur déplacement. La connaissance de u en tout
point du solide définit complètement la transformation du corps.
Une autre manière de définir la déformation du milieu consiste à s’intéresser aux
variations que subit la distance élémentaire séparant deux points infiniment proches.
Avant déformation, le carré de cette distance s’écrit
(2) :
dl
2
0 = dx
2
i
(2.19)
tandis que l’on a pour le corps déformé :
dl
2 = (dx i + du i )
2 = (dx i + ∂ k u i dx k )
2
= dx
2
i + 2 ∂ k u i dx i dx k + ∂ i u j ∂ k u j dx i dx k
(2.20)
Il vient alors :
dl
2 = dl
2
0 + 2 S ik dx i dx k
(2.21)
avec :
S ik =
1
2
∂ k u i + ∂ i u k + ∂ i u j ∂ k u j
(1) La théorie des milieux continus déformables peut être développée dans le contexte plus général de coordonnées curvilignes (cf. section A.4). Le recours à un tel formalisme offre alors l’avantage, en théorie de
l’élasticité notamment, de s’adapter à des géométries très variées (disques, tubes, coques, etc.) [40].
(2) On rappelle que, l’espace étant ici rapporté à un repère orthonormé, il n’y a pas lieu de distinguer les
composantes contravariantes et covariantes des vecteurs et tenseurs considérés (cf. annexe A.2.2). Les indices
sont donc systématiquement placés au bas des lettres supports qui désignent les quantités considérées.