6.3 Application à la modélisation des machines tournantes
189
La machine à aimantation induite est ainsi caractérisée par un potentiel de la forme :
G mag = −
1
2
pa
2 hm 0 K
2
S −
1
2
pa
2 (1 − x e )
2 h K S J x cos (a S − a R ) + G 0
Q, J p
(6.48)
Conformément à la méthode employée dans le cas du rotor à aimants permanents, la transcription de ce potentiel en termes des phaseurs complexes liés aux
courants statoriques permet de déterminer l’expression des flux par phase. Moyennant quelques lignes de calcul, on aboutit alors à une relation entre flux et courant de
la forme :
w S l = l c d i S dl + l cq i S ql
avec
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
i S dl = I S cos b e
j
v S t−(l−1)
2p
m
i S ql = I S j sin b e
j
v S t−(l−1)
2p
m
(6.49)
et
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
l c d =
m
2
pa
2 hm 0 C
2
S
⎡
⎣ 1 +
x d (1 − x e )
2
1 + x d x e
1 −
x e
2
⎤
⎦
l cq =
m
2
pa
2 hm 0 C
2
S
⎡
⎣ 1 +
x q (1 − x e )
2
1 + x q x e
1 −
x e
2
⎤
⎦
Ces relations manifestent à l’échelle globale l’anisotropie magnétique mise en jeu
au niveau local. Elles constituent le fondement du modèle classiquement utilisé pour
l’étude macroscopique des machines à pôles saillants fonctionnant en régime linéaire.
6.3.4 Machine à induction
Le phénomène d’induction électromagnétique constitue un procédé relativement astucieux pour coupler deux armatures en mouvement relatif (cf. § 5.3.5). Le principe
de conversion d’énergie qui en découle n’en demeure pas moins délicat à analyser.
Comme nous avons déjà eu l’occasion de le souligner (cf. § 4.4.3), la description de
ce type d’effet doit être abordée avec grand soin, du fait notamment de son origine
éminemment relativiste. En outre, en terme de modélisation analytique, les formulations « dynamiques » qui en résultent sont à l’évidence plus lourdes à traiter.
Aussi, en vue de décrire le principe de fonctionnement des machines à induction sans pour autant avoir à résoudre l’équation de diffusion (cf. § 6.1.2), nous supposerons que les courants induits se développent au sein d’une couche conductrice
d’épaisseur infinitésimale. Comme le montre la figure 6.8, le problème revient alors
à déterminer la distribution des courants superficiels induits à la surface du rotor sous
l’effet de son mouvement dans le champ électromagnétique.
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La machine à aimantation induite est ainsi caractérisée par un potentiel de la forme :
G mag = −
1
2
pa
2 hm 0 K
2
S −
1
2
pa
2 (1 − x e )
2 h K S J x cos (a S − a R ) + G 0
Q, J p
(6.48)
Conformément à la méthode employée dans le cas du rotor à aimants permanents, la transcription de ce potentiel en termes des phaseurs complexes liés aux
courants statoriques permet de déterminer l’expression des flux par phase. Moyennant quelques lignes de calcul, on aboutit alors à une relation entre flux et courant de
la forme :
w S l = l c d i S dl + l cq i S ql
avec
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
i S dl = I S cos b e
j
v S t−(l−1)
2p
m
i S ql = I S j sin b e
j
v S t−(l−1)
2p
m
(6.49)
et
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
l c d =
m
2
pa
2 hm 0 C
2
S
⎡
⎣ 1 +
x d (1 − x e )
2
1 + x d x e
1 −
x e
2
⎤
⎦
l cq =
m
2
pa
2 hm 0 C
2
S
⎡
⎣ 1 +
x q (1 − x e )
2
1 + x q x e
1 −
x e
2
⎤
⎦
Ces relations manifestent à l’échelle globale l’anisotropie magnétique mise en jeu
au niveau local. Elles constituent le fondement du modèle classiquement utilisé pour
l’étude macroscopique des machines à pôles saillants fonctionnant en régime linéaire.
6.3.4 Machine à induction
Le phénomène d’induction électromagnétique constitue un procédé relativement astucieux pour coupler deux armatures en mouvement relatif (cf. § 5.3.5). Le principe
de conversion d’énergie qui en découle n’en demeure pas moins délicat à analyser.
Comme nous avons déjà eu l’occasion de le souligner (cf. § 4.4.3), la description de
ce type d’effet doit être abordée avec grand soin, du fait notamment de son origine
éminemment relativiste. En outre, en terme de modélisation analytique, les formulations « dynamiques » qui en résultent sont à l’évidence plus lourdes à traiter.
Aussi, en vue de décrire le principe de fonctionnement des machines à induction sans pour autant avoir à résoudre l’équation de diffusion (cf. § 6.1.2), nous supposerons que les courants induits se développent au sein d’une couche conductrice
d’épaisseur infinitésimale. Comme le montre la figure 6.8, le problème revient alors
à déterminer la distribution des courants superficiels induits à la surface du rotor sous
l’effet de son mouvement dans le champ électromagnétique.