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6 • Éléments d’une théorie des convertisseurs électromagnétiques...
a) Cas où l’aimant remplit toute la cavité (e = 0)
Les sources du champ ne contenant qu’un seul harmonique en u, l’expression du
potentiel vecteur recherchée est de la forme :
A (r , u) = r (n 3 cos u + n 4 sin u)
(6.9)
en notant que la constante n 2 figurant dans (6.4) est nécessairement nulle, afin que
A reste fini lorsque r tend vers 0.
L’entrefer étant nul, la condition sur H u s’identifie à l’équation (6.6) avec r p = a.
En conséquence, on obtient pour le potentiel vecteur :
A (r , u) = r J p sin (u − a)
(6.10)
d’où :
B r = J p cos (u − a)
B u = −J p sin (u − a)
(6.11)
Ainsi, pour cette configuration triviale, le champ magnétique régnant dans l’aimant
se confond avec la polarisation magnétique
B = J p
, le champ H étant identiquement nul.
b) Cas où l’aimant fonctionne à travers un entrefer (e = 0)
Dans ce cas, il convient de distinguer deux expressions du potentiel vecteur, l’une
valable dans l’aimant et l’autre dans la zone d’entrefer. Les deux jeux de constantes
associées sont identifiés grâce aux conditions de passage entre l’aimant et l’entrefer
d’une part, l’entrefer et la culasse d’autre part. La solution du problème est explicitée
dans le tableau 6.2.
Comme l’illustre le tracé des équipotentielles de A représenté sur la figure 6.2, le
champ dans l’aimant est uniforme, comme dans le cas e = 0. La présence de l’entrefer se traduit cependant par un affaiblissement de l’intensité de B, sous l’effet d’un
champ H dans l’aimant à caractère démagnétisant. Lorsque l’entrefer relatif x e tend
vers l’unité (cas limite d’un aimant fonctionnant dans le vide, loin de toute source
magnétique), l’intensité de B dans le milieu aimanté est réduite de moitié par rapport
à la configuration à entrefer nul. Dans le cas où e reste petit devant a, cette atténuation
est proportionnelle, en première approximation, à la valeur de l’entrefer relatif
(1) .
En ce qui concerne le champ dans l’entrefer, sa distribution non uniforme est caractérisée par une variation sinusoïdale de ses composantes radiale et tangentielle le
long d’un rayon r donné. L’amplitude de la composante B u est un infiniment petit du
premier ordre en x e , tandis que celle de la composante radiale peut être assimilée en
première approximation à l’intensité de polarisation J p . On vérifie que le champ est
purement radial le long de la culasse de forte perméabilité (r → a).
(1) Les valeurs d’entrefer mises en jeu dans les machines électriques sont généralement de l’ordre de quelques
pourcents du rayon d’alésage.
6 • Éléments d’une théorie des convertisseurs électromagnétiques...
a) Cas où l’aimant remplit toute la cavité (e = 0)
Les sources du champ ne contenant qu’un seul harmonique en u, l’expression du
potentiel vecteur recherchée est de la forme :
A (r , u) = r (n 3 cos u + n 4 sin u)
(6.9)
en notant que la constante n 2 figurant dans (6.4) est nécessairement nulle, afin que
A reste fini lorsque r tend vers 0.
L’entrefer étant nul, la condition sur H u s’identifie à l’équation (6.6) avec r p = a.
En conséquence, on obtient pour le potentiel vecteur :
A (r , u) = r J p sin (u − a)
(6.10)
d’où :
B r = J p cos (u − a)
B u = −J p sin (u − a)
(6.11)
Ainsi, pour cette configuration triviale, le champ magnétique régnant dans l’aimant
se confond avec la polarisation magnétique
B = J p
, le champ H étant identiquement nul.
b) Cas où l’aimant fonctionne à travers un entrefer (e = 0)
Dans ce cas, il convient de distinguer deux expressions du potentiel vecteur, l’une
valable dans l’aimant et l’autre dans la zone d’entrefer. Les deux jeux de constantes
associées sont identifiés grâce aux conditions de passage entre l’aimant et l’entrefer
d’une part, l’entrefer et la culasse d’autre part. La solution du problème est explicitée
dans le tableau 6.2.
Comme l’illustre le tracé des équipotentielles de A représenté sur la figure 6.2, le
champ dans l’aimant est uniforme, comme dans le cas e = 0. La présence de l’entrefer se traduit cependant par un affaiblissement de l’intensité de B, sous l’effet d’un
champ H dans l’aimant à caractère démagnétisant. Lorsque l’entrefer relatif x e tend
vers l’unité (cas limite d’un aimant fonctionnant dans le vide, loin de toute source
magnétique), l’intensité de B dans le milieu aimanté est réduite de moitié par rapport
à la configuration à entrefer nul. Dans le cas où e reste petit devant a, cette atténuation
est proportionnelle, en première approximation, à la valeur de l’entrefer relatif
(1) .
En ce qui concerne le champ dans l’entrefer, sa distribution non uniforme est caractérisée par une variation sinusoïdale de ses composantes radiale et tangentielle le
long d’un rayon r donné. L’amplitude de la composante B u est un infiniment petit du
premier ordre en x e , tandis que celle de la composante radiale peut être assimilée en
première approximation à l’intensité de polarisation J p . On vérifie que le champ est
purement radial le long de la culasse de forte perméabilité (r → a).
(1) Les valeurs d’entrefer mises en jeu dans les machines électriques sont généralement de l’ordre de quelques
pourcents du rayon d’alésage.