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4 • Interaction électromécanique
On obtient donc pour la variation d’enthalpie libre :
dG
(int)
mag = −m 0 e i jk m p i H ext j da k = −g k da k
(4.18)
Par conséquent, le moment du couple g k qu’exerce le champ extérieur H ext j sur le
dipôle est donné par :
g k = m 0 e i jk m p i H ext j
(4.19)
ce que l’on écrit classiquement sous la forme du produit vectoriel :
g = m 0 m p ∧ H ext
(4.20)
b) Cas du dipôle polarisable linéaire
Outre la variation d’enthalpie liée au gradient du champ extérieur, il y a lieu de tenir compte, pour le dipôle polarisable, de la variation de moment qu’entraîne son
déplacement dans le champ.
➤ Dipôle en translation :
La différentielle de l’enthalpie (4.10) comporte deux termes qui s’écrivent, dans le
cas linéaire :
dG
(int)
mag = −
1
2
m 0
κ m il
∂ H ext l
∂x k
H ext i + κ m il
∂ H ext i
∂x k
H ext l
dx k
(4.21)
en notant que le tenseur de suceptibilité κ m il ne varie pas au cours d’un déplacement du moment parallèlement à lui-même. Or, ce tenseur étant supposé symétrique,
les deux termes au second membre de (4.21) sont égaux. L’expression (4.13) de la
force trouvée pour le dipôle permanent reste donc valable. On écrira de même :
f k = m 0 m x i
∂ H ext i
∂x k
(4.22)
➤ Dipôle en rotation :
Il convient de remarquer que, dans le référentiel du champ (auquel toutes les variations ont été rapportées jusqu’à présent), la loi constitutive du milieu est affectée
par son déplacement mécanique. La susceptibilité x m ik est en effet définie dans un référentiel où la matière est au repos. Afin de contourner cette difficulté, on évaluera la
variation d’énergie potentielle dans un référentiel lié au dipôle. Ce procédé est parfaitement légitime dans la mesure où l’enthalpie, à l’instar des grandeurs énergétiques,
constitue un invariant scalaire
(1) . La rotation du dipôle d’un angle da k dans le repère
(1) Si l’on ne sacrifiait pas à l’usage consistant à placer systématiquement les indices au bas des lettres
support, lorsque le repère est orthonormé, l’expression de l’enthalpie devrait être notée en toute rigueur
G
(int)
mag = −m 0 m i H i
ext , ce qui ferait alors explicitement apparaître sa qualité d’invariant scalaire (voir annexe
A.2.2).
4 • Interaction électromécanique
On obtient donc pour la variation d’enthalpie libre :
dG
(int)
mag = −m 0 e i jk m p i H ext j da k = −g k da k
(4.18)
Par conséquent, le moment du couple g k qu’exerce le champ extérieur H ext j sur le
dipôle est donné par :
g k = m 0 e i jk m p i H ext j
(4.19)
ce que l’on écrit classiquement sous la forme du produit vectoriel :
g = m 0 m p ∧ H ext
(4.20)
b) Cas du dipôle polarisable linéaire
Outre la variation d’enthalpie liée au gradient du champ extérieur, il y a lieu de tenir compte, pour le dipôle polarisable, de la variation de moment qu’entraîne son
déplacement dans le champ.
➤ Dipôle en translation :
La différentielle de l’enthalpie (4.10) comporte deux termes qui s’écrivent, dans le
cas linéaire :
dG
(int)
mag = −
1
2
m 0
κ m il
∂ H ext l
∂x k
H ext i + κ m il
∂ H ext i
∂x k
H ext l
dx k
(4.21)
en notant que le tenseur de suceptibilité κ m il ne varie pas au cours d’un déplacement du moment parallèlement à lui-même. Or, ce tenseur étant supposé symétrique,
les deux termes au second membre de (4.21) sont égaux. L’expression (4.13) de la
force trouvée pour le dipôle permanent reste donc valable. On écrira de même :
f k = m 0 m x i
∂ H ext i
∂x k
(4.22)
➤ Dipôle en rotation :
Il convient de remarquer que, dans le référentiel du champ (auquel toutes les variations ont été rapportées jusqu’à présent), la loi constitutive du milieu est affectée
par son déplacement mécanique. La susceptibilité x m ik est en effet définie dans un référentiel où la matière est au repos. Afin de contourner cette difficulté, on évaluera la
variation d’énergie potentielle dans un référentiel lié au dipôle. Ce procédé est parfaitement légitime dans la mesure où l’enthalpie, à l’instar des grandeurs énergétiques,
constitue un invariant scalaire
(1) . La rotation du dipôle d’un angle da k dans le repère
(1) Si l’on ne sacrifiait pas à l’usage consistant à placer systématiquement les indices au bas des lettres
support, lorsque le repère est orthonormé, l’expression de l’enthalpie devrait être notée en toute rigueur
G
(int)
mag = −m 0 m i H i
ext , ce qui ferait alors explicitement apparaître sa qualité d’invariant scalaire (voir annexe
A.2.2).