92
3 • Le point de vue thermodynamique
le long d’un chemin judicieusement choisi, en procédant par exemple de la manière
suivante :
V
q
1 , q
2 , . . . , q
n
=
q 1 ,q 2 ,...,q n
0,0,...,0
f l
˜
q
1 , ˜
q
2 , . . . , ˜
q
n
d ˜
q
l
(3.56)
=
q 1 ,0,...,0
0,0,...,0
f 1
˜
q
1 , 0, . . . , 0
d ˜
q
1 +
q 1 ,q 2 ,0,...,0
q 1 ,0,0,...,0
f 2
q
1 , ˜
q
2 , 0, . . . , 0
d ˜
q
2
+ · · · +
q 1 ,...,q n−1 ,q n
q 1 ,...,q n−1 ,0
f n
q
1 , . . . , q
n−1 , ˜
q
n
d ˜
q
n
Un raisonnement similaire peut être appliqué au calcul des intégrales définissant
l’énergie et la coénergie cinétiques généralisées.
S’agissant enfin de la prise en compte des phénomènes de dissipation tels que
le frottement mécanique où l’effet Joule, on peut baser le raisonnement sur le fait
que, dans la majorité des cas, les forces généralisées attachées à ces phénomènes
dépendent directement des vitesses généralisées. Ainsi, pour la catégorie de phénomènes tels que les forces de dissipation f R l sont proportionnelles aux vitesses (cas du
frottement visqueux ou des chutes de tension résultant de la loi d’ohm), il est possible
de rendre compte de ces effets grâce à l’introduction dans le lagrangien d’un terme
de coénergie cinétique généralisé « non-conservatif » (i.e. qui dépend explicitement
du temps). Ce terme supplémentaire, noté T
∗
R , est défini par :
T
∗
R ( ˙
q, t) =
t
0
R ( ˙
q) dt
(3.57)
où R ( ˙
q) désigne la fonction de dissipation, ou fonction de Rayleigh, définie par :
R ( ˙
q) =
1
2
r l
˙
q
l
2
(3.58)
et telle que :
f R l =
∂ R
∂ ˙
q l
(3.59)
les constantes r l désignant les coefficients de dissipation associés à chaque degré
de liberté.
Par conséquent, dans le cas d’un système électromécanique dissipatif, soumis à
des forces conservatives intérieures f l et extérieures f e l , dérivant respectivement des
potentiels V (q) et V e (q), ainsi qu’à des forces extérieures données f a (t) (imposées
3 • Le point de vue thermodynamique
le long d’un chemin judicieusement choisi, en procédant par exemple de la manière
suivante :
V
q
1 , q
2 , . . . , q
n
=
q 1 ,q 2 ,...,q n
0,0,...,0
f l
˜
q
1 , ˜
q
2 , . . . , ˜
q
n
d ˜
q
l
(3.56)
=
q 1 ,0,...,0
0,0,...,0
f 1
˜
q
1 , 0, . . . , 0
d ˜
q
1 +
q 1 ,q 2 ,0,...,0
q 1 ,0,0,...,0
f 2
q
1 , ˜
q
2 , 0, . . . , 0
d ˜
q
2
+ · · · +
q 1 ,...,q n−1 ,q n
q 1 ,...,q n−1 ,0
f n
q
1 , . . . , q
n−1 , ˜
q
n
d ˜
q
n
Un raisonnement similaire peut être appliqué au calcul des intégrales définissant
l’énergie et la coénergie cinétiques généralisées.
S’agissant enfin de la prise en compte des phénomènes de dissipation tels que
le frottement mécanique où l’effet Joule, on peut baser le raisonnement sur le fait
que, dans la majorité des cas, les forces généralisées attachées à ces phénomènes
dépendent directement des vitesses généralisées. Ainsi, pour la catégorie de phénomènes tels que les forces de dissipation f R l sont proportionnelles aux vitesses (cas du
frottement visqueux ou des chutes de tension résultant de la loi d’ohm), il est possible
de rendre compte de ces effets grâce à l’introduction dans le lagrangien d’un terme
de coénergie cinétique généralisé « non-conservatif » (i.e. qui dépend explicitement
du temps). Ce terme supplémentaire, noté T
∗
R , est défini par :
T
∗
R ( ˙
q, t) =
t
0
R ( ˙
q) dt
(3.57)
où R ( ˙
q) désigne la fonction de dissipation, ou fonction de Rayleigh, définie par :
R ( ˙
q) =
1
2
r l
˙
q
l
2
(3.58)
et telle que :
f R l =
∂ R
∂ ˙
q l
(3.59)
les constantes r l désignant les coefficients de dissipation associés à chaque degré
de liberté.
Par conséquent, dans le cas d’un système électromécanique dissipatif, soumis à
des forces conservatives intérieures f l et extérieures f e l , dérivant respectivement des
potentiels V (q) et V e (q), ainsi qu’à des forces extérieures données f a (t) (imposées