3.5 Introduction à la dynamique des systèmes électromécaniques
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potentielle (E p ) mises en jeu. Pour un dispositif incluant des degrés de liberté électromagnétiques, il convient donc d’étendre le sens de ces notions. Ainsi, dans le cadre
de la convention retenue, l’énergie électrostatique contribuera (de même que l’énergie élastique)à une énergie potentielle généralisée V (q) dont la différentielle correspond au terme dV = f l (q) dq
l (cf. tableau 3.2). L’énergie magnétostatique (comme
l’énergie stockée dans le mouvement macroscopique des corps matériels) sera comptabilisée quant à elle en terme d’une énergie cinétique généralisée T (q, p). La variation de cette quantité s’exprime par la différentielle dT = ˙
q
l (q, p) dp l . A noter
que, en vertu de cette dernière définition, l’énergie cinétique généralisée apparaît
comme une fonction de l’impulsion généralisée p l (le flux w pour un degré de liberté
électromagnétique) et non de la vitesse généralisée ˙
q
l (respectivement l’intensité du
courant i). Or, le lagrangien L est, par définition, une fonction des coordonnées q
l ,
des vitesses ˙
q
l , et éventuellement du temps t (si le système n’est pas conservatif). Par
conséquent, la fonction de Lagrange s’écrira de manière générale (pour un système
conservatif) :
L (q, ˙
q) = T
∗ (q, ˙
q) − V (q)
(3.55)
où T
∗ = ˙
q
l p l − T désigne la coénergie cinétique généralisée (la différentielle
dT
∗ = p l (q, p) d ˙
q
l établit bien cette grandeur comme une fonction des vitesses
généralisées).
Notons que cette définition n’est pas en contradiction avec la formule (2.30) précédemment postulée dans le cas d’un système mécanique. Dans ce domaine en effet,
les relations unissant quantité de mouvement et vitesse correspondent à des lois linéaires, si bien que les termes d’énergie et de coénergie cinétiques se confondent
(1) .
Il n’en va pas nécessairement de même dans le cas d’un degré de liberté électromagnétique. La présence d’une non-linéarité dans la loi flux-courant impose en effet de
distinguer les termes d’énergie cinétique
idw
et de coénergie cinétique généralisées
wdi
. Ces termes s’identifient respectivement à l’énergie et à la coénergie
magnétique (cf. section 3.4.2).
D’autre part, connaissant les lois f l (q) donnant les forces généralisées en fonction des coordonnées, la détermination du potentiel V revient à intégrer la forme
différentielle dV = f l (q) dq
l le long d’un chemin reliant l’état de référence (par
exemple le point origine de l’espace de configuration) et l’état courant associé au
vecteur
q
1 , q
2 , . . . , q
n
. Or, le système étant conservatif, le potentiel V (q) est une
fonction d’état, si bien que sa variation entre deux configurations données est indépendante du chemin suivi. Par conséquent, l’intégrale donnant V peut être évaluée
(1) L’identité est triviale pour une particule de masse m et de quantité de mouvement :
p = mv (dT = v·dp = p·dv = dT ∗ ).
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potentielle (E p ) mises en jeu. Pour un dispositif incluant des degrés de liberté électromagnétiques, il convient donc d’étendre le sens de ces notions. Ainsi, dans le cadre
de la convention retenue, l’énergie électrostatique contribuera (de même que l’énergie élastique)à une énergie potentielle généralisée V (q) dont la différentielle correspond au terme dV = f l (q) dq
l (cf. tableau 3.2). L’énergie magnétostatique (comme
l’énergie stockée dans le mouvement macroscopique des corps matériels) sera comptabilisée quant à elle en terme d’une énergie cinétique généralisée T (q, p). La variation de cette quantité s’exprime par la différentielle dT = ˙
q
l (q, p) dp l . A noter
que, en vertu de cette dernière définition, l’énergie cinétique généralisée apparaît
comme une fonction de l’impulsion généralisée p l (le flux w pour un degré de liberté
électromagnétique) et non de la vitesse généralisée ˙
q
l (respectivement l’intensité du
courant i). Or, le lagrangien L est, par définition, une fonction des coordonnées q
l ,
des vitesses ˙
q
l , et éventuellement du temps t (si le système n’est pas conservatif). Par
conséquent, la fonction de Lagrange s’écrira de manière générale (pour un système
conservatif) :
L (q, ˙
q) = T
∗ (q, ˙
q) − V (q)
(3.55)
où T
∗ = ˙
q
l p l − T désigne la coénergie cinétique généralisée (la différentielle
dT
∗ = p l (q, p) d ˙
q
l établit bien cette grandeur comme une fonction des vitesses
généralisées).
Notons que cette définition n’est pas en contradiction avec la formule (2.30) précédemment postulée dans le cas d’un système mécanique. Dans ce domaine en effet,
les relations unissant quantité de mouvement et vitesse correspondent à des lois linéaires, si bien que les termes d’énergie et de coénergie cinétiques se confondent
(1) .
Il n’en va pas nécessairement de même dans le cas d’un degré de liberté électromagnétique. La présence d’une non-linéarité dans la loi flux-courant impose en effet de
distinguer les termes d’énergie cinétique
idw
et de coénergie cinétique généralisées
wdi
. Ces termes s’identifient respectivement à l’énergie et à la coénergie
magnétique (cf. section 3.4.2).
D’autre part, connaissant les lois f l (q) donnant les forces généralisées en fonction des coordonnées, la détermination du potentiel V revient à intégrer la forme
différentielle dV = f l (q) dq
l le long d’un chemin reliant l’état de référence (par
exemple le point origine de l’espace de configuration) et l’état courant associé au
vecteur
q
1 , q
2 , . . . , q
n
. Or, le système étant conservatif, le potentiel V (q) est une
fonction d’état, si bien que sa variation entre deux configurations données est indépendante du chemin suivi. Par conséquent, l’intégrale donnant V peut être évaluée
(1) L’identité est triviale pour une particule de masse m et de quantité de mouvement :
p = mv (dT = v·dp = p·dv = dT ∗ ).