31. Applications de la théorie cinétique : phénomènes de transport
dE/dt = κA dT/dx. Montrer qu’en l’absence de convection la conductibilité thermique
d’un gaz est
κ =
kn 0 vl
γ − 1
=
1
γ − 1
kv
σ
.
où n 0 est le nombre de molécules de gaz par unité de volume, v leur vitesse moyenne,
l leur libre parcours moyen, σ leur section efficace de collision, et (γ − 1)kT l’énergie
moyenne d’une molécule à la température T .
Conseil : Interpréter la conductibilité thermique comme un transport d’énergie interne
(chaleur) U au travers d’un plan, d’un libre parcours moyen d’un côté à l’autre.
Exercice 31.7 Quand un gradient de vitesse existe dans un fluide, de telle façon que
la vitesse change avec la position à angle droit de la direction du flot, il en résulte une
traînée appelée la viscosité. Dans un gaz, cela est dû au transfert d’impulsion au travers
d’un plan, d’un libre parcours moyen d’un côté à l’autre. Si le flot est dans la direction x
et qu’il y a un gradient de v x dans la direction y, la force de traînée par unité de surface
sur un plan perpendiculaire à y est
F/A = η dv x /dy.
Montrer que pour un gaz, le coefficient de viscosité η est approximativement,
η = n 0 vml = vm/σ,
où n 0 est le nombre de molécules de gaz par unité de volume, v leur vitesse moyenne, m
leur masse, l leur libre parcours moyen, et σ leur section efficace de collision.
Exercice 31.8 On remarque que la conductibilité thermique et la viscosité d’un gaz
sont toutes deux indépendants de la pression.
(a) Trouver une modification appropriée des formules pour le transfert d’énergie dE/dt
entre deux surfaces dont les températures sont T et T +ΔT , situées à une distance D
l’une de l’autre, si (le libre parcours moyen) l D. (Voir exercice 31.6.)
(b) Faire de même pour le transfert d’impulsion (force de traînée par unité de surface) F/A entre deux surfaces, se déplaçant aux vitesses U et U + ΔU. (Voir exercice 31.7.)
Exercice 31.9 Un récipient contient 10 24 molécules d’un gaz dont le libre parcours
moyen est l. Pour quelle longueur de chemin L (approximativement) la probabilité qu’aucune molécule du récipient n’aille plus loin que L avant de subir sa prochaine collision
sera 1/2 ?
Exercice 31.10 La variation de la résistivité du silicium presque pur en fonction de
la température est montrée sur la figure 31.2. En déduire quantitativement la nature
de l’écoulement du courant électrique dans cette substance au-dessus et au-dessous de
300 ◦ C.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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dE/dt = κA dT/dx. Montrer qu’en l’absence de convection la conductibilité thermique
d’un gaz est
κ =
kn 0 vl
γ − 1
=
1
γ − 1
kv
σ
.
où n 0 est le nombre de molécules de gaz par unité de volume, v leur vitesse moyenne,
l leur libre parcours moyen, σ leur section efficace de collision, et (γ − 1)kT l’énergie
moyenne d’une molécule à la température T .
Conseil : Interpréter la conductibilité thermique comme un transport d’énergie interne
(chaleur) U au travers d’un plan, d’un libre parcours moyen d’un côté à l’autre.
Exercice 31.7 Quand un gradient de vitesse existe dans un fluide, de telle façon que
la vitesse change avec la position à angle droit de la direction du flot, il en résulte une
traînée appelée la viscosité. Dans un gaz, cela est dû au transfert d’impulsion au travers
d’un plan, d’un libre parcours moyen d’un côté à l’autre. Si le flot est dans la direction x
et qu’il y a un gradient de v x dans la direction y, la force de traînée par unité de surface
sur un plan perpendiculaire à y est
F/A = η dv x /dy.
Montrer que pour un gaz, le coefficient de viscosité η est approximativement,
η = n 0 vml = vm/σ,
où n 0 est le nombre de molécules de gaz par unité de volume, v leur vitesse moyenne, m
leur masse, l leur libre parcours moyen, et σ leur section efficace de collision.
Exercice 31.8 On remarque que la conductibilité thermique et la viscosité d’un gaz
sont toutes deux indépendants de la pression.
(a) Trouver une modification appropriée des formules pour le transfert d’énergie dE/dt
entre deux surfaces dont les températures sont T et T +ΔT , situées à une distance D
l’une de l’autre, si (le libre parcours moyen) l D. (Voir exercice 31.6.)
(b) Faire de même pour le transfert d’impulsion (force de traînée par unité de surface) F/A entre deux surfaces, se déplaçant aux vitesses U et U + ΔU. (Voir exercice 31.7.)
Exercice 31.9 Un récipient contient 10 24 molécules d’un gaz dont le libre parcours
moyen est l. Pour quelle longueur de chemin L (approximativement) la probabilité qu’aucune molécule du récipient n’aille plus loin que L avant de subir sa prochaine collision
sera 1/2 ?
Exercice 31.10 La variation de la résistivité du silicium presque pur en fonction de
la température est montrée sur la figure 31.2. En déduire quantitativement la nature
de l’écoulement du courant électrique dans cette substance au-dessus et au-dessous de
300 ◦ C.
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