18. Algèbre
Exercice 18.7
(a) Par itérations successives, ou par d’autres méthodes, montrer que e x peut être représentée par la série infinie
e
x
= 1 + x + x
2
/2! + x
3
/3! + · · · .
(b) Montrer que cos x et sin x peuvent être représentées par les séries infinies
cos x = 1 − x
2
/2! + x
4
/4! − x
6
/6! ± · · · ,
sin x = x − x
3
/3! + x
5
/5! − x
7
/7! ± · · · .
(Ces séries sont d’un grand intérêt pour calculer e x , cos x, et sin x pour x 1, même si
elles convergent pour tout x.)
Exercice 18.8 Trouver la solution algébrique complète de
y =
n
√
1,
où n est un entier.
Exercice 18.9 En employant les propriétés de e inθ et le théorème du binôme, montrer
que :
cos nθ = cos
n
θ −
n(n − 1)
2!
cos
n−2
θ sin
2
θ ± · · · .
Exercice 18.10
(a) À partir de la relation e i(θ+φ) = e iθ e iφ , montrer les formules trigonométriques qui
donnent le cosinus et le sinus d’une somme de deux angles.
(b) Interpréter géométriquement le résultat de la multiplication d’un nombre complexe Ae iθ , par un autre nombre complexe Be iφ .
Exercice 18.11 À partir de la table suivante des racines carrées successives de 11,
trouver (avec trois chiffres significatifs) log 11 2 et log 11 7.
Racine r
1/r
r
√
11 = 11
1/r
1
1,00000
11,0000
2
0,50000
3,3166
4
0,25000
1,8212
8
0,12500
1,3495
16
0,06250
1,1617
32
0,03125
1,0778
64
0,01563
1,0382
128
0,00781
1,0189
(Vérifier votre résultat avec log a N = log a b log b N où a et b sont deux bases quelconques.)
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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Exercice 18.7
(a) Par itérations successives, ou par d’autres méthodes, montrer que e x peut être représentée par la série infinie
e
x
= 1 + x + x
2
/2! + x
3
/3! + · · · .
(b) Montrer que cos x et sin x peuvent être représentées par les séries infinies
cos x = 1 − x
2
/2! + x
4
/4! − x
6
/6! ± · · · ,
sin x = x − x
3
/3! + x
5
/5! − x
7
/7! ± · · · .
(Ces séries sont d’un grand intérêt pour calculer e x , cos x, et sin x pour x 1, même si
elles convergent pour tout x.)
Exercice 18.8 Trouver la solution algébrique complète de
y =
n
√
1,
où n est un entier.
Exercice 18.9 En employant les propriétés de e inθ et le théorème du binôme, montrer
que :
cos nθ = cos
n
θ −
n(n − 1)
2!
cos
n−2
θ sin
2
θ ± · · · .
Exercice 18.10
(a) À partir de la relation e i(θ+φ) = e iθ e iφ , montrer les formules trigonométriques qui
donnent le cosinus et le sinus d’une somme de deux angles.
(b) Interpréter géométriquement le résultat de la multiplication d’un nombre complexe Ae iθ , par un autre nombre complexe Be iφ .
Exercice 18.11 À partir de la table suivante des racines carrées successives de 11,
trouver (avec trois chiffres significatifs) log 11 2 et log 11 7.
Racine r
1/r
r
√
11 = 11
1/r
1
1,00000
11,0000
2
0,50000
3,3166
4
0,25000
1,8212
8
0,12500
1,3495
16
0,06250
1,1617
32
0,03125
1,0778
64
0,01563
1,0382
128
0,00781
1,0189
(Vérifier votre résultat avec log a N = log a b log b N où a et b sont deux bases quelconques.)
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