VITESSE QUADRATIQUE MOYENNE (PTSI)
S’il y a N atomes dans le gaz et que l’atome numéro i a pour vitesse −
→ v i , alors :
u
2
=
1
N
N
∑
i=1
v
2
i .
6.2 Expression en fonction de la température
Dans le cas d’un gaz monoatomique, on connaît l’expression de l’énergie interne :
U =
3
2
nRT.
Par définition, l’énergie interne est la somme de l’énergie cinétique des atomes et de leur énergie potentielle d’interaction. Pour un gaz parfait les particules n’ont pas d’énergie potentielle
d’interaction.
L’énergie cinétique d’un atome, de masse m ∗ , et de vitesse −
→ v i est E c =
1
2
m ∗ v 2
i . L’énergie
interne du gaz est donc :
U =
N
∑
i=1
1
2
m
∗ v
2
i =
1
2
m
∗
N
∑
i=1
v
2
i =
1
2
Nm
∗ u
2
.
D’autre part, M = N A m ∗ , où N A est le nombre d’Avogadro, et N = nN A . Il vient donc :
U =
1
2
nMu
2
.
En rapprochant cette expression de l’énergie interne de l’expression rappelée en début de
calcul on trouve :
u =
3RT
M
.
(21.6)
Cette relation est aussi valable aussi dans le cas d’un gaz de molécules polyatomiques.
6.3 Ordre de grandeur de la vitesse quadratique moyenne
On peut calculer u dans le cas de deux gaz pour se rendre compte de l’ordre de grandeur
important de cette vitesse à une température de 300 K :
• pour le dihydrogène H 2 , m ∗
H 2
= 2 × 1,67.10 −27 kg (deux fois la masse d’un proton) et :
u H 2 =
3 × 1, 38 10 −23 × 300
2 × 1, 67 10 −27
= 1,9.10
3 m·s
−1
,
• pour le dioxygène O 2 , m ∗
O 2
32 × 1,67.10 −27 kg et :
u O 2
1
√
16
u H 2 = 4,7.10
2 m·s
−1
.
On peut être impressionné par des valeurs aussi élevées. Les vitesses des molécules peuvent
être très importantes.
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