CHAPITRE 18 – MOUVEMENT D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS UN CHAMP
cadre de la théorie relativiste, l’expression de l’énergie cinétique est modifiée et devient :
E c = (γ − 1)m e c
2
,
où m e c 2 est l’énergie de masse de l’électron égale à 511 keV. De même, la longueur d’onde
de DE BROGLIE est toujours définie à partir de la quantité de mouvement p :
λ =
h
p
,
mais la quantité de mouvement vaut p = γm e v.
On a réunit dans le tableau 18.1 les valeurs des paramètres suivants : la tension accélératrice
U, le facteur de Lorentz γ, β et λ . Pour bien se rendre compte de l’importance de tenir compte
de la correction relativiste, on a également donné le rapport β c obtenu dans l’approximation
classique, ainsi que la longueur d’onde de DE BROGLIE associée λ c .
U(kV)
γ
β
λ (pm)
β c
λ c (pm)
10
1,02 0,195 12,19
0,198
12,25
20
1,04 0,272
8,58
0,280
8,66
50
1,10 0,413
5,35
0,442
5,48
100
1,20 0,548
3,70
0,626
3,87
200
1,39 0,695
2,51
0,885
2,74
500
1,98 0,863
1,42
1,40
1,73
1000
2,96 0,941
0,87
1,98
0,122
Tableau 18.1 – Caractéristiques des électrons mis en jeu en microscopie électronique.
Questions À la lecture de ce texte, répondre aux questions suivantes :
1. En quoi les effets relativistes limitent la résolution intrinsèque de l’appareil ?
2. Exprimer les coefficients relativistes γ et β en fonction de la tension accélératrice U,
de la charge de l’électron e, de sa masse m e et de la vitesse de la lumière.
3. Retrouver les longueurs d’onde apparaissant dans le tableau ci-dessus.
Eléments de réponse
1. On voit dans le tableau que la longueur d’onde de DE BROGLIE obtenue en tenant
compte des effets relativistes est plus grande que dans le modèle classique. Comme la
résolution intrinsèque est limité par cette longueur d’onde, les effets relativistes limitent
la résolution intrinsèque de l’appareil.
2. On obtient γ = 1 +
eU
m e c 2 puis β =
1 −
1
γ 2 . On en déduit v puis on reporte v et γ
dans l’expression de λ pour obtenir : λ =
h
2eU m e c
2
1 +
eU
2m e c 2
.
3. Il n’y plus alors qu’à faire les applications numériques.
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cadre de la théorie relativiste, l’expression de l’énergie cinétique est modifiée et devient :
E c = (γ − 1)m e c
2
,
où m e c 2 est l’énergie de masse de l’électron égale à 511 keV. De même, la longueur d’onde
de DE BROGLIE est toujours définie à partir de la quantité de mouvement p :
λ =
h
p
,
mais la quantité de mouvement vaut p = γm e v.
On a réunit dans le tableau 18.1 les valeurs des paramètres suivants : la tension accélératrice
U, le facteur de Lorentz γ, β et λ . Pour bien se rendre compte de l’importance de tenir compte
de la correction relativiste, on a également donné le rapport β c obtenu dans l’approximation
classique, ainsi que la longueur d’onde de DE BROGLIE associée λ c .
U(kV)
γ
β
λ (pm)
β c
λ c (pm)
10
1,02 0,195 12,19
0,198
12,25
20
1,04 0,272
8,58
0,280
8,66
50
1,10 0,413
5,35
0,442
5,48
100
1,20 0,548
3,70
0,626
3,87
200
1,39 0,695
2,51
0,885
2,74
500
1,98 0,863
1,42
1,40
1,73
1000
2,96 0,941
0,87
1,98
0,122
Tableau 18.1 – Caractéristiques des électrons mis en jeu en microscopie électronique.
Questions À la lecture de ce texte, répondre aux questions suivantes :
1. En quoi les effets relativistes limitent la résolution intrinsèque de l’appareil ?
2. Exprimer les coefficients relativistes γ et β en fonction de la tension accélératrice U,
de la charge de l’électron e, de sa masse m e et de la vitesse de la lumière.
3. Retrouver les longueurs d’onde apparaissant dans le tableau ci-dessus.
Eléments de réponse
1. On voit dans le tableau que la longueur d’onde de DE BROGLIE obtenue en tenant
compte des effets relativistes est plus grande que dans le modèle classique. Comme la
résolution intrinsèque est limité par cette longueur d’onde, les effets relativistes limitent
la résolution intrinsèque de l’appareil.
2. On obtient γ = 1 +
eU
m e c 2 puis β =
1 −
1
γ 2 . On en déduit v puis on reporte v et γ
dans l’expression de λ pour obtenir : λ =
h
2eU m e c
2
1 +
eU
2m e c 2
.
3. Il n’y plus alors qu’à faire les applications numériques.
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