PORTRAITS DE PHASE ET LIEN AVEC LE PROFIL D’ÉNERGIE POTENTIELLE
7.3 Caractéristiques principales des portraits de phase
Dans ce paragraphe, on cherche les caractéristiques principales des portraits de phase à partir
de l’exemple ci-dessus et on les justifie brièvement.
1. Les trajectoires de phases sont parcourues de gauche à droite dans le demi-plan
supérieur et de droite à gauche dans le demi-plan inférieur.
Dans le demi-plan supérieur ˙
x > 0 donc x est croissante et évolue de gauche à droite.
Dans le demi-plan inférieur, ˙
x < 0 donc x est décroissante et évolue de droite à gauche.
2. Les mouvements périodiques correspondent à des trajectoires de phase fermées
décrites dans le sens horaire.
Si le mouvement du mobile est périodique, il retrouve la même position et la même
vitesse après une période donc le même point du plan de phase. D’après le point 1,
elles sont décrites dans le sens horaire.
3. Les trajectoires de phases ne se croisent pas.
Ceci se démontre par l’absurde en supposant que deux trajectoires se croisent en P 0 .
P 0 représente une condition initiale pour l’évolution du système. Si deux trajectoires
de phases passent par P 0 , c’est qu’une même condition initiale peut conduire à deux
mouvements différents. C’est incompatible avec le déterminisme classique.
4. Une trajectoire de phase coupe généralement l’axe (Ox) selon la verticale.
En effet, la tangente à la trajectoire de phase en un point (x, ˙
x) peut être définie comme
la droite passant par ce point et faisant un angle α avec l’axe Ox tel que :
tan α =
d ˙
x
dx
=
d ˙
x
dt
dx
dt
=
¨
x
˙
x
.
Sur l’axe (Ox), la vitesse ˙
x est nulle. Dans le cas général, l’accélération ¨
x est non nulle
et tan α → ∞ d’où |α| →
π
2
.
On peut noter que les positions d’équilibres pour lesquelles ¨
x = 0 sont des exceptions à
cette règle. En pratique, seules les positions d’équilibre instables posent problème car,
si le mobile est sans vitesse en une position d’équilibre stable, il ne bouge plus et sa
trajectoire de phase est restreinte à un point.
5. Les positions d’équilibres stables sont entourées de trajectoires de phase elliptiques.
On a vu que les trajectoires de phases d’un oscillateur harmonique sont des ellipses.
On démontrera dans un prochain chapitre que les mouvements de faible amplitude
au voisinage d’une position d’équilibre stable sont des mouvements harmoniques. Ce
point en sera la conséquence directe.
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7.3 Caractéristiques principales des portraits de phase
Dans ce paragraphe, on cherche les caractéristiques principales des portraits de phase à partir
de l’exemple ci-dessus et on les justifie brièvement.
1. Les trajectoires de phases sont parcourues de gauche à droite dans le demi-plan
supérieur et de droite à gauche dans le demi-plan inférieur.
Dans le demi-plan supérieur ˙
x > 0 donc x est croissante et évolue de gauche à droite.
Dans le demi-plan inférieur, ˙
x < 0 donc x est décroissante et évolue de droite à gauche.
2. Les mouvements périodiques correspondent à des trajectoires de phase fermées
décrites dans le sens horaire.
Si le mouvement du mobile est périodique, il retrouve la même position et la même
vitesse après une période donc le même point du plan de phase. D’après le point 1,
elles sont décrites dans le sens horaire.
3. Les trajectoires de phases ne se croisent pas.
Ceci se démontre par l’absurde en supposant que deux trajectoires se croisent en P 0 .
P 0 représente une condition initiale pour l’évolution du système. Si deux trajectoires
de phases passent par P 0 , c’est qu’une même condition initiale peut conduire à deux
mouvements différents. C’est incompatible avec le déterminisme classique.
4. Une trajectoire de phase coupe généralement l’axe (Ox) selon la verticale.
En effet, la tangente à la trajectoire de phase en un point (x, ˙
x) peut être définie comme
la droite passant par ce point et faisant un angle α avec l’axe Ox tel que :
tan α =
d ˙
x
dx
=
d ˙
x
dt
dx
dt
=
¨
x
˙
x
.
Sur l’axe (Ox), la vitesse ˙
x est nulle. Dans le cas général, l’accélération ¨
x est non nulle
et tan α → ∞ d’où |α| →
π
2
.
On peut noter que les positions d’équilibres pour lesquelles ¨
x = 0 sont des exceptions à
cette règle. En pratique, seules les positions d’équilibre instables posent problème car,
si le mobile est sans vitesse en une position d’équilibre stable, il ne bouge plus et sa
trajectoire de phase est restreinte à un point.
5. Les positions d’équilibres stables sont entourées de trajectoires de phase elliptiques.
On a vu que les trajectoires de phases d’un oscillateur harmonique sont des ellipses.
On démontrera dans un prochain chapitre que les mouvements de faible amplitude
au voisinage d’une position d’équilibre stable sont des mouvements harmoniques. Ce
point en sera la conséquence directe.
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