Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 15 – PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE NEWTONIENNE
15.6 Quelques tirs de basket
1. Le système étudié est le ballon assimilé à son centre de gravité dans le référentiel terrestre
galiléen. Il est soumis à la seule force du poids. L’écriture du principe fondamental de la
dynamique donne − → a = − → g .
2. La projection de la relation précédente en coordonnées cartésiennes en choisissant Oz
dirigé vers le haut donne :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
¨
x = 0
¨
y = 0
¨
z = −g
⇒
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
˙
x = v 0 cos α
˙
y = 0
˙
z = −gt + v 0 sin α
⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x = v 0 t cos α − D
y = 0
z =
1
2
gt
2
+ v 0 t sin α + h
en prenant l’origine du repère au sol sous le panneau et en tenant compte des conditions
initiales pour effectuer les intégrations.
3. Pour obtenir l’équation de la trajectoire, il suffit d’éliminer le temps entre les différentes
équations. On en déduit t =
x + D
v 0 cos α
donc :
z =
1
2
g
x + D
v 0 cos α
2
+ (x + D)tan α + h.
4. La résolution de l’équation précédente pour z = H et x = 0 donne, en posant X = tan α et
en transformant
1
cos 2 α
= 1 + tan
2
α :
gD 2
2v 2
0
X
2
− DX − h +
gD 2
2v 2
0
+ H = 0.
5. Les solutions doivent être réelles pour avoir un sens physiquement. Ce sera uniquement le
cas si le discriminant est positif soit D 2 − 4
gD 2
2v 2
0
−h +
gD 2
2v 2
0
+ H
> 0. Cette condition peut
s’écrire :
v
4
0 − 2g (H − h)v
2
0 − g
2 D
2
≥ 0.
(15.8)
6. En posant Y = v 2
0 , cette relation s’écrit Y 2 − 2g (H − h)Y − g 2 D 2 . Son discriminant est
δ = g 2 (H − h)
2 + g 2 D 2 > 0 et ses deux racines sont Y ± = g (H − h) ± g
(H − h)
2 + D 2 ,
l’une positive et l’autre négative. Ce polynôme prend des valeurs négatives entre ses racines et
positives à l’extérieur. Comme Y = v 2
0 ≥ 0, la condition (15.8) est vérifiée si v 2
0 est supérieure
à la racine positive soit v 0 ≥
g
H − h +
(H − h)
2 + D 2
.
7. L’application numérique donne pour un lancer franc v 0 ≥ 7,59 m·s −1 = 27,3 km·h −1 et
pour un tir à trois points v 0 ≥ 8,60 m·s −1 = 31,0 km·h −1 .
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CHAPITRE 15 – PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE NEWTONIENNE
15.6 Quelques tirs de basket
1. Le système étudié est le ballon assimilé à son centre de gravité dans le référentiel terrestre
galiléen. Il est soumis à la seule force du poids. L’écriture du principe fondamental de la
dynamique donne − → a = − → g .
2. La projection de la relation précédente en coordonnées cartésiennes en choisissant Oz
dirigé vers le haut donne :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
¨
x = 0
¨
y = 0
¨
z = −g
⇒
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
˙
x = v 0 cos α
˙
y = 0
˙
z = −gt + v 0 sin α
⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x = v 0 t cos α − D
y = 0
z =
1
2
gt
2
+ v 0 t sin α + h
en prenant l’origine du repère au sol sous le panneau et en tenant compte des conditions
initiales pour effectuer les intégrations.
3. Pour obtenir l’équation de la trajectoire, il suffit d’éliminer le temps entre les différentes
équations. On en déduit t =
x + D
v 0 cos α
donc :
z =
1
2
g
x + D
v 0 cos α
2
+ (x + D)tan α + h.
4. La résolution de l’équation précédente pour z = H et x = 0 donne, en posant X = tan α et
en transformant
1
cos 2 α
= 1 + tan
2
α :
gD 2
2v 2
0
X
2
− DX − h +
gD 2
2v 2
0
+ H = 0.
5. Les solutions doivent être réelles pour avoir un sens physiquement. Ce sera uniquement le
cas si le discriminant est positif soit D 2 − 4
gD 2
2v 2
0
−h +
gD 2
2v 2
0
+ H
> 0. Cette condition peut
s’écrire :
v
4
0 − 2g (H − h)v
2
0 − g
2 D
2
≥ 0.
(15.8)
6. En posant Y = v 2
0 , cette relation s’écrit Y 2 − 2g (H − h)Y − g 2 D 2 . Son discriminant est
δ = g 2 (H − h)
2 + g 2 D 2 > 0 et ses deux racines sont Y ± = g (H − h) ± g
(H − h)
2 + D 2 ,
l’une positive et l’autre négative. Ce polynôme prend des valeurs négatives entre ses racines et
positives à l’extérieur. Comme Y = v 2
0 ≥ 0, la condition (15.8) est vérifiée si v 2
0 est supérieure
à la racine positive soit v 0 ≥
g
H − h +
(H − h)
2 + D 2
.
7. L’application numérique donne pour un lancer franc v 0 ≥ 7,59 m·s −1 = 27,3 km·h −1 et
pour un tir à trois points v 0 ≥ 8,60 m·s −1 = 31,0 km·h −1 .
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