SIGNAUX PHYSIQUES, SPECTRE
1.4 Cas d’un signal non périodique
a) Spectre continu
La théorie de la transformée de Fourier montre qu’il est possible de reconstituer tout signal
physique, même non périodique, par superposition de signaux sinusoïdaux. La différence
avec le cas des signaux périodiques est que les fréquences f (et pulsation ω = 2π f ) des
composante sinusoïdales prennent a priori toutes les valeurs de 0 à l’infini.
La décomposition d’un signal non périodique s’écrit sous la forme :
s(t) =
ˆ ∞
0
A(ω) cos (ωt + ϕ(ω)) dω.
A(ω) est la densité spectrale d’amplitude qui a la dimension du signal s(t) divisée par
l’unité de pulsation, c’est-à-dire multipliée par des secondes.
Le spectre du signal est l’ensemble des fréquences pour lesquelles la densité spectrale A(ω)
est non nulle. Il comporte un continuum de fréquences entre une fréquence minimale et une
fréquence maximale, d’où le nom de spectre continu.
L’information complète concernant le signal est donnée par deux courbes :
• le spectre d’amplitude : courbe de A(ω) en fonction de ω ;
• le spectre de phase initiale : courbe ϕ(ω) en fonction de ω.
b) Étude d’un exemple
Dans le cas du signal s(t) = exp(−at 2 ) cos(2πt) un calcul en dehors du programme montre
que A(ω) = 2
π
a
cosh
πω
a
exp
−
π 2 + ω 2
4a
et ϕ(ω) = 0. La figure 2.6 montre ce signal
et son spectre d’amplitude pour deux valeurs différentes de a.
Dans les deux cas la courbe d’amplitude est maximale pour ω 0 = 2π rad·s −1 qui est la pulsation du cosinus apparaissant dans l’expression du signal. Lorsque a diminue, le signal occupe
une plage de temps plus grande et le spectre se resserre autour de ω 0 . Si on faisait tendre a
vers 0, le signal deviendrait un signal purement sinusoïdal et son spectre un pic de largeur
nulle en ω 0 . Ceci est général : plus un signal est court, plus son spectre est large.
Des exemples de spectres continus réels sont donnés dans la suite de ce chapitre (voir figures
2.8 et 2.9), ainsi que dans le chapitre 4.
1.5 Analyse harmonique expérimentale
La plupart des oscilloscopes numériques et des logiciels de traitement des données expérimentales sont pourvus d’un module d’analyse de Fourier permettant d’obtenir le spectre d’un
signal physique.
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1.4 Cas d’un signal non périodique
a) Spectre continu
La théorie de la transformée de Fourier montre qu’il est possible de reconstituer tout signal
physique, même non périodique, par superposition de signaux sinusoïdaux. La différence
avec le cas des signaux périodiques est que les fréquences f (et pulsation ω = 2π f ) des
composante sinusoïdales prennent a priori toutes les valeurs de 0 à l’infini.
La décomposition d’un signal non périodique s’écrit sous la forme :
s(t) =
ˆ ∞
0
A(ω) cos (ωt + ϕ(ω)) dω.
A(ω) est la densité spectrale d’amplitude qui a la dimension du signal s(t) divisée par
l’unité de pulsation, c’est-à-dire multipliée par des secondes.
Le spectre du signal est l’ensemble des fréquences pour lesquelles la densité spectrale A(ω)
est non nulle. Il comporte un continuum de fréquences entre une fréquence minimale et une
fréquence maximale, d’où le nom de spectre continu.
L’information complète concernant le signal est donnée par deux courbes :
• le spectre d’amplitude : courbe de A(ω) en fonction de ω ;
• le spectre de phase initiale : courbe ϕ(ω) en fonction de ω.
b) Étude d’un exemple
Dans le cas du signal s(t) = exp(−at 2 ) cos(2πt) un calcul en dehors du programme montre
que A(ω) = 2
π
a
cosh
πω
a
exp
−
π 2 + ω 2
4a
et ϕ(ω) = 0. La figure 2.6 montre ce signal
et son spectre d’amplitude pour deux valeurs différentes de a.
Dans les deux cas la courbe d’amplitude est maximale pour ω 0 = 2π rad·s −1 qui est la pulsation du cosinus apparaissant dans l’expression du signal. Lorsque a diminue, le signal occupe
une plage de temps plus grande et le spectre se resserre autour de ω 0 . Si on faisait tendre a
vers 0, le signal deviendrait un signal purement sinusoïdal et son spectre un pic de largeur
nulle en ω 0 . Ceci est général : plus un signal est court, plus son spectre est large.
Des exemples de spectres continus réels sont donnés dans la suite de ce chapitre (voir figures
2.8 et 2.9), ainsi que dans le chapitre 4.
1.5 Analyse harmonique expérimentale
La plupart des oscilloscopes numériques et des logiciels de traitement des données expérimentales sont pourvus d’un module d’analyse de Fourier permettant d’obtenir le spectre d’un
signal physique.
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