Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
CORRIGÉS
13.1 Test d’accélération d’une voiture
1. Le mouvement est rectiligne à accélération constante − → a 0 . On choisit l’axe (Ox) (vecteur
− → u x ) comme axe du mouvement et le point O commme point de départ. L’intégration de l’accélération donne :
− → a = − → a 0 = a 0
−
→ u x ⇒ − → v = (a 0 t + C) − → u x
or la vitesse initiale (t = 0) est nulle donc C = 0. L’abscisse x est alors :
x =
a 0 t 2
2
+ C
avec x(0) = 0 donc C
= 0
Si on note t D = 26,6 s, a 0 = 2D/t 2
D = 2 × 180/26, 6 2 = 0,509 m·s −2 . On obtient ensuite la
vitesse à t = t D : v D = v 0 t D = 13,5 m·s −1 .
2. Pour la phase de freinage, on peut changer les origines (temps et espace) ; la nouvelle
vitesse initiale est alors v D . On note a f = −7 m·s −2 l’accélération lors de cette phase (a f < 0
car il y a freinage). Les intégrations de l’accélération amènent à :
v = ˙
x = a f t + v D et x =
a f t 2
2
+ v D t.
L’arrêt a lieu pour v = 0 soit t = t A = v D /a f = 1,93 s d’où une distance de freinage :
x(t A ) =
a f
2
v D
a f
2
+ v D
v D
a f
= 1, 5
v 2
D
a f
= 13 m.
13.2 Interpellation pour vitesse excessive
1. Soit (Ox) l’axe le long duquel ont lieu les mouvements de la voiture et de la moto. La
voiture, repérée par son abscisse x V , est en mouvement rectiligne et uniforme à la vitesse
˙
x V = v 0 . Sa position s’écrit x V = v 0 t en prenant l’origine O du repère d’espace à la position
commune de la voiture et de la moto à t = 0.
La moto, repérée par son abscisse x M , est en mouvement rectiligne et uniformément accélérée
avec ¨
x M = a 0 . Comme dans l’exercice précédent (les conditions initiales sont identiques), on
en déduit sa vitesse ˙
x M = a 0 t et sa position x M =
1
2
a 0 t
2 par intégration par rapport au temps.
Le motard rattrape la voiture lorsque les positions de la voiture et de la moto sont à nouveau
identiques, ce qui revient à résoudre x V (t) = x M (t) soit v 0 t =
1
2
a 0 t
2 . Les solutions sont t = 0
qui n’est bien évidemment pas la solution cherchée et t 0 =
2v 0
a 0
= 22,2 s. Pour effectuer l’application numérique, on transforme la vitesse en m·s
−1 soit v 0 = 100 km·h
−1
= 27,8 m·s
−1
et on détermine l’accélération par le fait qu’au bout de t 1 = 10 s, la moto atteint une vitesse
v 1 = 90 km·h −1 = 25 m·s −1 soit a 0 =
v 1
t 1
= 2,5 m·s
−2 .
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CORRIGÉS
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13.1 Test d’accélération d’une voiture
1. Le mouvement est rectiligne à accélération constante − → a 0 . On choisit l’axe (Ox) (vecteur
− → u x ) comme axe du mouvement et le point O commme point de départ. L’intégration de l’accélération donne :
− → a = − → a 0 = a 0
−
→ u x ⇒ − → v = (a 0 t + C) − → u x
or la vitesse initiale (t = 0) est nulle donc C = 0. L’abscisse x est alors :
x =
a 0 t 2
2
+ C
avec x(0) = 0 donc C
= 0
Si on note t D = 26,6 s, a 0 = 2D/t 2
D = 2 × 180/26, 6 2 = 0,509 m·s −2 . On obtient ensuite la
vitesse à t = t D : v D = v 0 t D = 13,5 m·s −1 .
2. Pour la phase de freinage, on peut changer les origines (temps et espace) ; la nouvelle
vitesse initiale est alors v D . On note a f = −7 m·s −2 l’accélération lors de cette phase (a f < 0
car il y a freinage). Les intégrations de l’accélération amènent à :
v = ˙
x = a f t + v D et x =
a f t 2
2
+ v D t.
L’arrêt a lieu pour v = 0 soit t = t A = v D /a f = 1,93 s d’où une distance de freinage :
x(t A ) =
a f
2
v D
a f
2
+ v D
v D
a f
= 1, 5
v 2
D
a f
= 13 m.
13.2 Interpellation pour vitesse excessive
1. Soit (Ox) l’axe le long duquel ont lieu les mouvements de la voiture et de la moto. La
voiture, repérée par son abscisse x V , est en mouvement rectiligne et uniforme à la vitesse
˙
x V = v 0 . Sa position s’écrit x V = v 0 t en prenant l’origine O du repère d’espace à la position
commune de la voiture et de la moto à t = 0.
La moto, repérée par son abscisse x M , est en mouvement rectiligne et uniformément accélérée
avec ¨
x M = a 0 . Comme dans l’exercice précédent (les conditions initiales sont identiques), on
en déduit sa vitesse ˙
x M = a 0 t et sa position x M =
1
2
a 0 t
2 par intégration par rapport au temps.
Le motard rattrape la voiture lorsque les positions de la voiture et de la moto sont à nouveau
identiques, ce qui revient à résoudre x V (t) = x M (t) soit v 0 t =
1
2
a 0 t
2 . Les solutions sont t = 0
qui n’est bien évidemment pas la solution cherchée et t 0 =
2v 0
a 0
= 22,2 s. Pour effectuer l’application numérique, on transforme la vitesse en m·s
−1 soit v 0 = 100 km·h
−1
= 27,8 m·s
−1
et on détermine l’accélération par le fait qu’au bout de t 1 = 10 s, la moto atteint une vitesse
v 1 = 90 km·h −1 = 25 m·s −1 soit a 0 =
v 1
t 1
= 2,5 m·s
−2 .
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