Exercices Corrigés
CHAPITRE 1 – OSCILLATEUR HARMONIQUE
2. On considère l’extrémité de la fibre comme un point matériel. Les deux forces s’exerçant sur ce point sont F et la tension T du ressort équivalent cherché qui est vers le haut.
L’équilibre de l’extrémité donne la relation entre les forces : T = −F or Y =
7 3 F
Ed 4 soit
T = −
Ed 4
7 3 Y = −kY . La fibre est équivalente à un ressort de longueur à vide nulle et constante
de raideur k =
Ed 4
7 3 .
3. L’application numérique donne k = 2, 9.10 −4 N.m
−1 .
4. L’énergie mécanique est la somme de l’énergie potentielle donnée et de l’énergie cinétique
soit :
E m =
Ed 4
14 3 Y
2
+ ρd
2
dY
dt
2
.
5. Il n’y pas d’autres forces à prendre en compte que la tension du ressort équivalent, donc
si on applique le théorème de l’énergie cinétique, il vient : dE c = δW or δW = −dE p , d’où
dE c = −dE p soit dE m = dE c + dE p = 0. L’énergie mécanique est donc constante.
Pour obtenir l’équation du mouvement, on dérive E m par rapport au temps :
dE m
dt
= 0 ⇒ ˙
Y
Ed 4
7 3 Y + 2ρd
2 ¨
Y
= 0.
On simplifie par ˙
Y qui n’est pas identiquement pour obtenir l’équation :
¨
Y +
Ed 2
14ρ 4 Y = 0
qui est l’équation d’un oscillateur harmonique.
6. La pulsation propre de l’oscillateur précédent est ω 0 =
Ed 2
14ρ 4 et la fréquence propre
f 0 = ω 0 /2π.
7. L’application numérique donne : ω 0 = 288 rad.s
−1 et f 0 = 45, 9 Hz.
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CHAPITRE 1 – OSCILLATEUR HARMONIQUE
2. On considère l’extrémité de la fibre comme un point matériel. Les deux forces s’exerçant sur ce point sont F et la tension T du ressort équivalent cherché qui est vers le haut.
L’équilibre de l’extrémité donne la relation entre les forces : T = −F or Y =
7 3 F
Ed 4 soit
T = −
Ed 4
7 3 Y = −kY . La fibre est équivalente à un ressort de longueur à vide nulle et constante
de raideur k =
Ed 4
7 3 .
3. L’application numérique donne k = 2, 9.10 −4 N.m
−1 .
4. L’énergie mécanique est la somme de l’énergie potentielle donnée et de l’énergie cinétique
soit :
E m =
Ed 4
14 3 Y
2
+ ρd
2
dY
dt
2
.
5. Il n’y pas d’autres forces à prendre en compte que la tension du ressort équivalent, donc
si on applique le théorème de l’énergie cinétique, il vient : dE c = δW or δW = −dE p , d’où
dE c = −dE p soit dE m = dE c + dE p = 0. L’énergie mécanique est donc constante.
Pour obtenir l’équation du mouvement, on dérive E m par rapport au temps :
dE m
dt
= 0 ⇒ ˙
Y
Ed 4
7 3 Y + 2ρd
2 ¨
Y
= 0.
On simplifie par ˙
Y qui n’est pas identiquement pour obtenir l’équation :
¨
Y +
Ed 2
14ρ 4 Y = 0
qui est l’équation d’un oscillateur harmonique.
6. La pulsation propre de l’oscillateur précédent est ω 0 =
Ed 2
14ρ 4 et la fréquence propre
f 0 = ω 0 /2π.
7. L’application numérique donne : ω 0 = 288 rad.s
−1 et f 0 = 45, 9 Hz.
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