Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
réécrire cette condition sous la forme r
2 R
2
C
2
− 2rLC (2r + 3R) + L
2
< 0. Il s’agit d’un trinôme du second degré en C qui doit être négatif, il faut donc que la valeur de C soit entre
les racines de ce polynôme en C pour que l’inégalité soit vérifiée. Cette condition donne
rL (2r + 3R) ±
r 2 L 2 (2r + 3R)
2 − r 2 R 2 L 2
R 2 r 2
soit numériquement 3, 36 μF < C < 2, 64 mF.
5. D’après la réponse à la question précédente, le régime est pseudopériodique et la résolution
en tenant compte des conditions initiales établies au début du problème, on obtient
i = −
2rRC exp
−
1
2rC
+
R
2L
t
(r + R)
4 (r + R) rLC − (L + rRC)
2
sin
4 (r + R) rLC − (L + rRC)
2
2rLC
t.
9.3 Régime transitoire d’un circuit R, L,C parallèle
Le circuit étudié est le suivant :
E
R
r L
C
1. On utilise la continuité de l’intensité du courant traversant une inductance et de la tension
aux bornes d’une capacité pour déterminer les conditions initiales juste après la fermeture
de l’interrupteur K. On obtient immédiatement i 1 (0 + ) = u(0 + ) = 0. Par la loi d’Ohm, on a
i 3 (0 + ) =
u(0 + )
r
= 0. En écrivant la loi des nœuds avec les résultats précédents, on a i(0 + ) =
i 2 (0 + ) et il suffit d’écrire une loi des mailles pour obtenir i(0 + ) = i 2 (0 + ) =
E
R
.
2. En régime permanent, les grandeurs sont constantes et les dérivées temporelles nulles. Les
relations intensité - tension pour les dipôles donnent i 2 (∞) = u(∞) = 0. Alors en refaisant le
même raisonnement qu’à la question précédente, on obtient i 3 (∞) = 0 et i(∞) = i 1 (∞) =
E
R
.
3. On a u = E − Ri = ri 3 = L
di 1
dt
et u =
du
dt
soit en tenant compte du fait que E est constante,
on obtient par dérivation
di
dt
= −
r
R
di 3
dt
,
di 1
dt
=
r
L
i 3 ,
di 2
dt
= rC
d 2 i 3
dt 2 . On dérive la loi des nœuds
i = i 1 + i 2 + i 3 et en utilisant les relations précédentes, on obtient
d
2 i 3
dt 2 +
r + R
RrC
di 3
dt
+
1
LC
i 3 = 0.
4. Par identification, on en déduit ω 0 =
1
√
LC
et λ =
R + r
2Rr
L
C
.
5. Le régime sera pseudo-périodique si le discriminant de l’équation caractéristique r 2 +
2λ ω 0 r + ω 2
0 = 0 est négatif soit 4λ 2 ω 2
0 − 4ω 2
0 < 0 qu’on peut écrire λ < 1 ou en explicitant
la valeur de λ
R + r
2rR
<
C
L
.
6. La grandeur λ caractérise l’amortissement des oscillations.
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CORRIGÉS
réécrire cette condition sous la forme r
2 R
2
C
2
− 2rLC (2r + 3R) + L
2
< 0. Il s’agit d’un trinôme du second degré en C qui doit être négatif, il faut donc que la valeur de C soit entre
les racines de ce polynôme en C pour que l’inégalité soit vérifiée. Cette condition donne
rL (2r + 3R) ±
r 2 L 2 (2r + 3R)
2 − r 2 R 2 L 2
R 2 r 2
soit numériquement 3, 36 μF < C < 2, 64 mF.
5. D’après la réponse à la question précédente, le régime est pseudopériodique et la résolution
en tenant compte des conditions initiales établies au début du problème, on obtient
i = −
2rRC exp
−
1
2rC
+
R
2L
t
(r + R)
4 (r + R) rLC − (L + rRC)
2
sin
4 (r + R) rLC − (L + rRC)
2
2rLC
t.
9.3 Régime transitoire d’un circuit R, L,C parallèle
Le circuit étudié est le suivant :
E
R
r L
C
1. On utilise la continuité de l’intensité du courant traversant une inductance et de la tension
aux bornes d’une capacité pour déterminer les conditions initiales juste après la fermeture
de l’interrupteur K. On obtient immédiatement i 1 (0 + ) = u(0 + ) = 0. Par la loi d’Ohm, on a
i 3 (0 + ) =
u(0 + )
r
= 0. En écrivant la loi des nœuds avec les résultats précédents, on a i(0 + ) =
i 2 (0 + ) et il suffit d’écrire une loi des mailles pour obtenir i(0 + ) = i 2 (0 + ) =
E
R
.
2. En régime permanent, les grandeurs sont constantes et les dérivées temporelles nulles. Les
relations intensité - tension pour les dipôles donnent i 2 (∞) = u(∞) = 0. Alors en refaisant le
même raisonnement qu’à la question précédente, on obtient i 3 (∞) = 0 et i(∞) = i 1 (∞) =
E
R
.
3. On a u = E − Ri = ri 3 = L
di 1
dt
et u =
du
dt
soit en tenant compte du fait que E est constante,
on obtient par dérivation
di
dt
= −
r
R
di 3
dt
,
di 1
dt
=
r
L
i 3 ,
di 2
dt
= rC
d 2 i 3
dt 2 . On dérive la loi des nœuds
i = i 1 + i 2 + i 3 et en utilisant les relations précédentes, on obtient
d
2 i 3
dt 2 +
r + R
RrC
di 3
dt
+
1
LC
i 3 = 0.
4. Par identification, on en déduit ω 0 =
1
√
LC
et λ =
R + r
2Rr
L
C
.
5. Le régime sera pseudo-périodique si le discriminant de l’équation caractéristique r 2 +
2λ ω 0 r + ω 2
0 = 0 est négatif soit 4λ 2 ω 2
0 − 4ω 2
0 < 0 qu’on peut écrire λ < 1 ou en explicitant
la valeur de λ
R + r
2rR
<
C
L
.
6. La grandeur λ caractérise l’amortissement des oscillations.
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