Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 9 – CIRCUIT LINÉAIRE DU SECOND ORDRE
CORRIGÉS
9.1 Paramètres caractéristiques d’un système
1. Il convient d’écrire l’équation différentielle sous la forme canonique (le terme facteur de
s (t) doit être 1) :
1
ω 2
0
d 2 s
dt 2 +
2ξ
ω 0
ds
dt
+ s (t) = ... . Dans notre cas :
2
5
d 2 s
dt 2 +
1
5
ds
dt
+ s (t) =
e (t)
5
.
On identifie alors ω 0 :
1
ω 2
0
=
2
5
donc ω 0 = 1, 6 rad.s −1 . Puis ξ :
2ξ
ω 0
=
1
5
donc ξ = 1, 6.10 −1 .
On en déduit : Q =
1
2ξ
= 3, 1.
2. Connaissant ξ , on consulte la courbe en V du temps de réponse d’un système du deuxième
ordre soumis à un échelon. Pour ξ = 1, 6.10 −1 , on a ω 0 T R ≈ 20, soit T R ≈ 12, 5 s.
9.2 Influence d’un condensateur sur un circuit RL
Le circuit étudié est le suivant :
R
r
C
L
E
1. L’intensité traversant l’inductance L pour t < 0 s’obtient en écrivant la loi des mailles sur
la maille comprenant le générateur et la bobine soit E − ri r − Ri + L
di
dt
= 0. Or pour t < 0, le
circuit est en régime permanent donc
di
dt
= 0 et il n’y a pas de courant dans la capacité donc
i r = i. On en déduit i(t < 0) =
E
r + R
. On utilise alors la continuité de l’intensité du courant
traversant une inductance L et on obtient i(0
+
) =
E
r + R
.
2. On utilise la continuité de la tension u aux bornes de la capacité C qui est est aussi la
tension aux bornes de la bobine ou de l’ensemble L et R. On écrit la loi des mailles à t = 0 +
soit Ri(0 + ) + L
di
dt
(0
+
) = 0. On en déduit
di
dt
(0
+
) = −
RE
L (r + R)
.
3. On écrit la loi des mailles sur la maille comprenant le générateur et la bobine soit E −
ri r − Ri + L
di
dt
= 0 ainsi que la loi des nœuds, ce qui donne i r = i + i C . Par ailleurs, la relation
entre intensité et tension pour une capacité fournit i C = C
du
dt
avec u = Ri + L
di
dt
. On en déduit
d 2 i
dt 2 +
1
rC
+
R
L
di
dt
+
R + r
rLC
i =
E
rLC
en éliminant i C et u.
4. Pour obtenir un régime quasipériodique ou pseudo-périodique, il faut que le déterminant
de l’équation caractéristique associé à l’équation différentielle du second ordre à coefficients
constants soit négatif. Ici on a Δ =
1
rC
+
R
L
2
−
4 (r + R)
rLC
qui doit être négatif. On peut
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CHAPITRE 9 – CIRCUIT LINÉAIRE DU SECOND ORDRE
CORRIGÉS
9.1 Paramètres caractéristiques d’un système
1. Il convient d’écrire l’équation différentielle sous la forme canonique (le terme facteur de
s (t) doit être 1) :
1
ω 2
0
d 2 s
dt 2 +
2ξ
ω 0
ds
dt
+ s (t) = ... . Dans notre cas :
2
5
d 2 s
dt 2 +
1
5
ds
dt
+ s (t) =
e (t)
5
.
On identifie alors ω 0 :
1
ω 2
0
=
2
5
donc ω 0 = 1, 6 rad.s −1 . Puis ξ :
2ξ
ω 0
=
1
5
donc ξ = 1, 6.10 −1 .
On en déduit : Q =
1
2ξ
= 3, 1.
2. Connaissant ξ , on consulte la courbe en V du temps de réponse d’un système du deuxième
ordre soumis à un échelon. Pour ξ = 1, 6.10 −1 , on a ω 0 T R ≈ 20, soit T R ≈ 12, 5 s.
9.2 Influence d’un condensateur sur un circuit RL
Le circuit étudié est le suivant :
R
r
C
L
E
1. L’intensité traversant l’inductance L pour t < 0 s’obtient en écrivant la loi des mailles sur
la maille comprenant le générateur et la bobine soit E − ri r − Ri + L
di
dt
= 0. Or pour t < 0, le
circuit est en régime permanent donc
di
dt
= 0 et il n’y a pas de courant dans la capacité donc
i r = i. On en déduit i(t < 0) =
E
r + R
. On utilise alors la continuité de l’intensité du courant
traversant une inductance L et on obtient i(0
+
) =
E
r + R
.
2. On utilise la continuité de la tension u aux bornes de la capacité C qui est est aussi la
tension aux bornes de la bobine ou de l’ensemble L et R. On écrit la loi des mailles à t = 0 +
soit Ri(0 + ) + L
di
dt
(0
+
) = 0. On en déduit
di
dt
(0
+
) = −
RE
L (r + R)
.
3. On écrit la loi des mailles sur la maille comprenant le générateur et la bobine soit E −
ri r − Ri + L
di
dt
= 0 ainsi que la loi des nœuds, ce qui donne i r = i + i C . Par ailleurs, la relation
entre intensité et tension pour une capacité fournit i C = C
du
dt
avec u = Ri + L
di
dt
. On en déduit
d 2 i
dt 2 +
1
rC
+
R
L
di
dt
+
R + r
rLC
i =
E
rLC
en éliminant i C et u.
4. Pour obtenir un régime quasipériodique ou pseudo-périodique, il faut que le déterminant
de l’équation caractéristique associé à l’équation différentielle du second ordre à coefficients
constants soit négatif. Ici on a Δ =
1
rC
+
R
L
2
−
4 (r + R)
rLC
qui doit être négatif. On peut
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