Exercices Exercices
APPROFONDIR
S’ENTRAÎNER
9.1 Paramètres caractéristiques d’un système ()
Un système linéaire est décrit par son équation différentielle : 2
d 2 s
dt 2 +
ds
dt
+ 5s (t) = e (t) .
1. Calculer ses paramètres caractéristiques (pulsation caratéristique, coefficient d’amortissement). En déduire son facteur de qualité.
2. Ce système est aliménté par un échelon. Quel est son temps de réaction ?
9.2 Influence d’un condensateur sur un circuit RL ()
Soit un générateur de tension de force électromotrice E et de résistance interne r. Il est placé
aux bornes d’une bobine d’inductance L et de résistance R. On suppose qu’à l’instant initial,
l’ensemble fonctionne en régime permanent. On branche alors en parallèle avec la bobine un
condensateur de capacité C. L’objet de ce problème est l’étude de l’intensité i traversant la
bobine.
1. Déterminer la valeur de i à t = 0 + juste après avoir branché le condensateur.
2. Même question pour
di
dt
.
3. Établir l’équation différentielle vérifiée par i.
4. On donne L = 43 mH, R = 9, 1 Ω, r = 50 Ω et E = 5, 0 V. Quelle valeur doit-on prendre
pour C pour observer un régime quasipériodique ?
5. Déterminer l’expression littérale de i si C = 10 μF.
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9.3 Régime transitoire d’un circuit R, L,C parallèle ()
Soit un circuit constitué de l’association en série d’une source idéale de tension E, d’une
résistance R, d’un interrupteur K et de l’association en parallèle d’une résistance r, d’une
inductance L et d’une capacité C. Initialement l’interrupteur est ouvert, la capacité est déchargée et tous les courants sont nuls. On ferme l’interrupteur K à l’instant t = 0. On notera
i l’intensité du courant dans R, i 1 dans L, i 2 dans C et i 3 dans r ainsi que u la tension aux
bornes de r (ou de C ou de L).
1. Déterminer, en les justifiant, les valeurs de u, i, i 1 , i 2 et i 3 juste après la fermeture de
l’interrupteur K.
2. Même question lorsque le régime permanent est complètement établi.
3. Établir l’équation différentielle vérifiée par i 3 pour t > 0.
4. L’écrire sous la forme :
d 2 i 3
dt 2 + 2λ ω 0
di 3
dt
+ ω
2
0 i 3 = 0.
On donnera les expressions de ω 0 et λ en fonction de r, R, L et C.
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9.1 Paramètres caractéristiques d’un système ()
Un système linéaire est décrit par son équation différentielle : 2
d 2 s
dt 2 +
ds
dt
+ 5s (t) = e (t) .
1. Calculer ses paramètres caractéristiques (pulsation caratéristique, coefficient d’amortissement). En déduire son facteur de qualité.
2. Ce système est aliménté par un échelon. Quel est son temps de réaction ?
9.2 Influence d’un condensateur sur un circuit RL ()
Soit un générateur de tension de force électromotrice E et de résistance interne r. Il est placé
aux bornes d’une bobine d’inductance L et de résistance R. On suppose qu’à l’instant initial,
l’ensemble fonctionne en régime permanent. On branche alors en parallèle avec la bobine un
condensateur de capacité C. L’objet de ce problème est l’étude de l’intensité i traversant la
bobine.
1. Déterminer la valeur de i à t = 0 + juste après avoir branché le condensateur.
2. Même question pour
di
dt
.
3. Établir l’équation différentielle vérifiée par i.
4. On donne L = 43 mH, R = 9, 1 Ω, r = 50 Ω et E = 5, 0 V. Quelle valeur doit-on prendre
pour C pour observer un régime quasipériodique ?
5. Déterminer l’expression littérale de i si C = 10 μF.
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9.3 Régime transitoire d’un circuit R, L,C parallèle ()
Soit un circuit constitué de l’association en série d’une source idéale de tension E, d’une
résistance R, d’un interrupteur K et de l’association en parallèle d’une résistance r, d’une
inductance L et d’une capacité C. Initialement l’interrupteur est ouvert, la capacité est déchargée et tous les courants sont nuls. On ferme l’interrupteur K à l’instant t = 0. On notera
i l’intensité du courant dans R, i 1 dans L, i 2 dans C et i 3 dans r ainsi que u la tension aux
bornes de r (ou de C ou de L).
1. Déterminer, en les justifiant, les valeurs de u, i, i 1 , i 2 et i 3 juste après la fermeture de
l’interrupteur K.
2. Même question lorsque le régime permanent est complètement établi.
3. Établir l’équation différentielle vérifiée par i 3 pour t > 0.
4. L’écrire sous la forme :
d 2 i 3
dt 2 + 2λ ω 0
di 3
dt
+ ω
2
0 i 3 = 0.
On donnera les expressions de ω 0 et λ en fonction de r, R, L et C.
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