Exercices
CHAPITRE 6 – INTRODUCTION AU MONDE QUANTIQUE
a. Exprimer p 1x , quantité de mouvement selon (Ox) d’un photon parvenant en M et passant par la fente F 1 en fonction de p, d, a et D. Exprimer de même p 2x , quantité de mouvement selon (Ox) d’un photon provenant de la fente F 2 .
b. En déduire que l’on sait de quelle fente provient le photon seulement si l’indétermination quantique sur la quantité de mouvement de l’écran est très inférieure à une valeur que
l’on exprimera en fonction de p, a et D.
c. En se plaçant dans cette hypothèse, comparer l’indétermination quantique sur la position de l’écran et la distance caractéristique définie à la première question. Conclure.
6.12 Molécules de colorant modélisées par un puits quantique (d’après Pour la Science,
mai 2011) ( )
CH 3
CH 3
CH 3
CH 3
N
N
C
C
C
H
H
p
Les cyanines sont des colorants organiques répandus.
On s’intéresse aux streptocyanines, molécules représentées ci-contre, dans lesquelles le motif du polyacétylène est répété p fois. Ces molécules ont une bande
d’absorption dans le visible qui se déplace lorsque p
varie, passant du bleu (pour p = 2) au rouge (pour
p = 5). La théorie du puits quantique permet d’interpréter ces propriétés. Il y a en effet sur la
molécule p + 1 doublets d’électrons « π » délocalisés (les électrons des doubles liaisons) qui
sont libres de se déplacer entre les deux atomes d’azote.
1. En admettant que toutes les liaisons C − C, ainsi que les deux liaisons C − N concernées
ont la même longueur a = 0,139 nm, exprimer en fonction de p et a la longueur L sur laquelle
les électrons délocalisés sont libres de se déplacer.
2. On suppose que ces électrons sont dans un puits quantique infini de largeur L. Exprimer
les énergies E n possibles pour un électron de masse m e dans ce puits.
3. Les électrons remplissent ces niveaux d’énergie en respectant le principe de Pauli et la
règle de Hund (voir cours de chimie). Montrer que le plus haut niveau d’énergie peuplé est le
niveau E p+1 .
4. Lorsque la molécule absorbe un photon, un électron passe du niveau d’énergie où il se
trouve à un niveau supérieur non occupé. La différence entre les deux niveaux d’énergie
est égale à l’énergie du photon. En ne tenant compte que des électrons du puits, montrer
que la plus grande longueur d’onde que la molécule absorbe est donnée par la formule :
λ =
8ma 2 c
h
(2p + 2) 2
2p + 3
.
5. Expérimentalement on mesure les longueurs d’onde d’absorption suivantes p = 2, 3, 4 et
5 : 416 nm, 519 nm, 625 nm, et 735 nm. Commenter.
6. Quelle est la couleur de la molécule pour p = 1 ?
234
CHAPITRE 6 – INTRODUCTION AU MONDE QUANTIQUE
a. Exprimer p 1x , quantité de mouvement selon (Ox) d’un photon parvenant en M et passant par la fente F 1 en fonction de p, d, a et D. Exprimer de même p 2x , quantité de mouvement selon (Ox) d’un photon provenant de la fente F 2 .
b. En déduire que l’on sait de quelle fente provient le photon seulement si l’indétermination quantique sur la quantité de mouvement de l’écran est très inférieure à une valeur que
l’on exprimera en fonction de p, a et D.
c. En se plaçant dans cette hypothèse, comparer l’indétermination quantique sur la position de l’écran et la distance caractéristique définie à la première question. Conclure.
6.12 Molécules de colorant modélisées par un puits quantique (d’après Pour la Science,
mai 2011) ( )
CH 3
CH 3
CH 3
CH 3
N
N
C
C
C
H
H
p
Les cyanines sont des colorants organiques répandus.
On s’intéresse aux streptocyanines, molécules représentées ci-contre, dans lesquelles le motif du polyacétylène est répété p fois. Ces molécules ont une bande
d’absorption dans le visible qui se déplace lorsque p
varie, passant du bleu (pour p = 2) au rouge (pour
p = 5). La théorie du puits quantique permet d’interpréter ces propriétés. Il y a en effet sur la
molécule p + 1 doublets d’électrons « π » délocalisés (les électrons des doubles liaisons) qui
sont libres de se déplacer entre les deux atomes d’azote.
1. En admettant que toutes les liaisons C − C, ainsi que les deux liaisons C − N concernées
ont la même longueur a = 0,139 nm, exprimer en fonction de p et a la longueur L sur laquelle
les électrons délocalisés sont libres de se déplacer.
2. On suppose que ces électrons sont dans un puits quantique infini de largeur L. Exprimer
les énergies E n possibles pour un électron de masse m e dans ce puits.
3. Les électrons remplissent ces niveaux d’énergie en respectant le principe de Pauli et la
règle de Hund (voir cours de chimie). Montrer que le plus haut niveau d’énergie peuplé est le
niveau E p+1 .
4. Lorsque la molécule absorbe un photon, un électron passe du niveau d’énergie où il se
trouve à un niveau supérieur non occupé. La différence entre les deux niveaux d’énergie
est égale à l’énergie du photon. En ne tenant compte que des électrons du puits, montrer
que la plus grande longueur d’onde que la molécule absorbe est donnée par la formule :
λ =
8ma 2 c
h
(2p + 2) 2
2p + 3
.
5. Expérimentalement on mesure les longueurs d’onde d’absorption suivantes p = 2, 3, 4 et
5 : 416 nm, 519 nm, 625 nm, et 735 nm. Commenter.
6. Quelle est la couleur de la molécule pour p = 1 ?
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