¿º ÄÄ× ÙØÖÖ× ÙÖÖÖØØÓÒ× ÒÒÖÖÕÙÙ×
j
C6 < 0,
0 < ¯
α <
7
16
C6 > 0,
7
16
< ¯
α < 1
ff
.
´¿ºº¼µ
Ò×׸ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ×ÙÖ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¯
α ÒÒÙÙ××ÒØ Ù Ò Ò Ó Ò Ø C4 ÒÒÒÒØØØ
Ò ÖÖÚÒÒ ÙÒ ÓÓÓÓÓÓÒØ C6 ÔÓ××ØØØ ´C4 < 0 Ø C6 > 0µ¸ Ò×× Ð³³³³Ø Ù ØØÖÑÑ Ò
x
6 ׳ÓÔÔÓ×× ÙÜ Ø× × ØØÖÑÑ× Ò x
2 Ø Ò x
4 ÔÓÙÖ ××ÙÖÖÖ ÙÒÒ ××ØÙÖÖØØÓÒ
г³Ò×ØØØØÐÐØØ ´ÚÓÓÖ ÐÐ ÙÖÖ ¿º¿½ г³ÐÐÙÖÖ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ Ù ×Ý×ØØÑÑ
ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ÓÙ×¹¹ÖÖØØÕÙÙ ´´³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÕÙÙ C4 < 0µ ÔÓÙÖ
ÚÚÐÐÙÖ× µº
Ò ÔÓÙÖ×ÙÙÚÒØ Ð Ñ Ò ÙØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¸ ÓÒ ÒÒØ ÔÔÖ ÖÓÓ××Ö ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ
c ÐÐ ÕÙÙÒØØØØ Δ ÐÓÖ× ×××ÒÒ¸ Ø ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò x = 0 ÖÖÖÖÚÚÚÒØ ×ØØØÐк
ÈÈÝ××ÕÙÙÑÑÒظ ÖÖ×ÙÐØØØ ×³³ÒØØÖÔÖÖØØ ÐÐ ÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÔÔØØظ
Ø ÔÓÙÖ ÙÒ ÑÑÑÑ ÖØ ÚÚÖØØØØÐ ÜÜ ÐÐ ÑÑ××× ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ x = 0¸ г³ÒÒÐÐ
ÜÜÓÒ ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ ×Ø ÔÐÙ× ÖÖÒÒ Ð ÙØ ÓÒÒ ³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓÙÖ
ÑÓÙÚÓÓÖ ÐÐ ÑÑ××× ÓÖ× Ð³³ÜÜ ÐÓÖ×ÕÙÙ ØÖÓÔ
ÔÔØØظ ÐÐ ÓÓØ Ò ÒÒÖÖÖÖ ÜÜÓÒ ÚÚÚÒØ ØÖÓÔ ÜÜÜ×××× Ø ÐÐ ÑÑ××× ÖÖ×ØØ ×ÙÖ Ð³³ÜÜ
´×ØØØØÐÐØØ x = 0µº
¿ººº¿ ÈÖÓÓÐÐÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ÓÙ×¹¹ÖÖØØÕÙÙ ÑÔÔÖÖÖÖØØ
ÓÒ××××ÖÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×ÙÙÚÚÒØØ ÕÙÙ ÒØÖÓÓÙÙØ ÙÒ ØØÖÑÑ ³³ÑÔÔÖÖÖÖ¹
ØØÓÒ ν ÕÙÙ ÖÖ×× ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ
dA
dτ
= A + A
3 − A
5 + ν.
´¿ºº½µ
××ÙØØÞ ÐÐ ÓÖÑÑ Ù ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ º ÓÒ××××ÖÖÞ
ÐÐ× ÙÜ ×××ÒÒ× ÔÓ××××ÐÐ× Ù ØØÖÑÑ ³³ÑÔÔÖÖÖÖØØÓÒ ν > 0 Ø ν < 0 ´ÚÓÓÖ ÐÐ ÙÖÖ ¿º¿¾¸
ÕÙÙ × ÖÖ×ÙÐØØØ× ÔÔÖØØØÐ× Ò ÙÙÙÙÖ Ð³³ÒÒÐÝ××µº
¿ºººº ÈÖÓÓÐÐÑÑ ÙÐÐÖ Ø ÐÐ ÐÑ ××ÚÓÒ
ÓÒ××××ÖÓÒ× ÙÒ ÐÑ ××ÚÓÒ ØØÒÒÙ ÔÔÖ ÙÜ ÜÒÒÒÒÙÜ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¿¿µº ÆÓÙ× ÒÓÙ×
ÔÖÓÔÓ×ÓÒ׸ Ò× ØØØ ×××ØØÓÒ¸ ³ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ÓÖÑÑ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ÓÔØØØ ÔÔÖ ÐÐ ÐÑ
××ÚÓÒº ØØØ ÖÒÒÒÖÖ ×Ø ÓÒØÖÖÖÒØØ ÔÔÖ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ × ÜÒÒÒÒÙÜ ÜÙÜ ÜÜØÖÖÑÑØØ×
Ø ×× ÔÐÓÓÓ ØÓÙØ Ò ÑÑÒÒÑÑ××ÒØ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ×ÙÖÖÖÖÖ F =
R
γdS¸ Ó γ ×Ø ÐÐ Ò××ØØ
³³ÒÒÖÖÖÖ ×ÙÖÖÖÖÖ ´´ÒÒÖÖÖÖ ÔÔÖ ÙÒÒØØ ×ÙÖÖÖÖÖµ Ø dS ×Ø ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ ÐÐÑÑÒØØØÖÖº
Ò ×ÙÔÔÓ××ÒØ ÕÙÙ ÐÐ Ò××ØØ ³³ÒÒÖÖÖÖ ×ÙÖÖÖÖÖ ×Ø ÓÒ×ØØÒØظ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒÒ
ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÔÓÙÖ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ F
F = γ
Z
dS.
´¿ºº¾µ
ÅÅÒÒÑÑ××Ö Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ×ÙÖÖÖÖÖ F ÖÖÚÚÚÒØ Ò×× ÑÑÒÒÑÑ××Ö Ð³³³ÖÖ S =
R
dS Ù ÐÑ
××ÚÓÒº
ÇÖ¸ г³³ÖÖ ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ ÐÐÑÑÒØØØÖÖ dS ´´Ò ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ¿º¿¿µ ×Ø ÓÒÒÒÒ
ÔÔÖ dS = 2πrds¸ Ò× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÙÖÚÚÐÐÐÒÒ׸ ÓÓ r ×Ø ÐÐ ÖÖÝÓÒ Ù
ÖÖÐÐ ÐÐ ÙØØÙÖ z Ø ds ×Ø Ð³³³×××××× ÙÖÚÚÐÐÐÒÒ ØØÐÐÐ ÕÙ³³ÒÒÒÕÙÙÙ ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ
¿º¿¿ Ò ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÝÐÐÒÒÖÖÕÙÙ׸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÐÐÑÑÒØ
ÜÔÖÖÑÑÖ Ð³³³ÖÖ dS ÓÑÑÑ dS = 2πr
√
dr 2 + dz 2 ¸ dz ÐÐ ÙØØÙÖ ÐÐÑÑÒØØØÖÖº
j
C6 < 0,
0 < ¯
α <
7
16
C6 > 0,
7
16
< ¯
α < 1
ff
.
´¿ºº¼µ
Ò×׸ ÐÐ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ×ÙÖ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¯
α ÒÒÙÙ××ÒØ Ù Ò Ò Ó Ò Ø C4 ÒÒÒÒØØØ
Ò ÖÖÚÒÒ ÙÒ ÓÓÓÓÓÓÒØ C6 ÔÓ××ØØØ ´C4 < 0 Ø C6 > 0µ¸ Ò×× Ð³³³³Ø Ù ØØÖÑÑ Ò
x
6 ׳ÓÔÔÓ×× ÙÜ Ø× × ØØÖÑÑ× Ò x
2 Ø Ò x
4 ÔÓÙÖ ××ÙÖÖÖ ÙÒÒ ××ØÙÖÖØØÓÒ
г³Ò×ØØØØÐÐØØ ´ÚÓÓÖ ÐÐ ÙÖÖ ¿º¿½ г³ÐÐÙÖÖ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ Ù ×Ý×ØØÑÑ
ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ÓÙ×¹¹ÖÖØØÕÙÙ ´´³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÕÙÙ C4 < 0µ ÔÓÙÖ
ÚÚÐÐÙÖ× µº
Ò ÔÓÙÖ×ÙÙÚÒØ Ð Ñ Ò ÙØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¸ ÓÒ ÒÒØ ÔÔÖ ÖÓÓ××Ö ÐÐ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ
c ÐÐ ÕÙÙÒØØØØ Δ ÐÓÖ× ×××ÒÒ¸ Ø ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò x = 0 ÖÖÖÖÚÚÚÒØ ×ØØØÐк
ÈÈÝ××ÕÙÙÑÑÒظ ÖÖ×ÙÐØØØ ×³³ÒØØÖÔÖÖØØ ÐÐ ÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÔÔØØظ
Ø ÔÓÙÖ ÙÒ ÑÑÑÑ ÖØ ÚÚÖØØØØÐ ÜÜ ÐÐ ÑÑ××× ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ x = 0¸ г³ÒÒÐÐ
ÜÜÓÒ ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ ×Ø ÔÐÙ× ÖÖÒÒ Ð ÙØ ÓÒÒ ³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓÙÖ
ÑÓÙÚÓÓÖ ÐÐ ÑÑ××× ÓÖ× Ð³³ÜÜ ÐÓÖ×ÕÙÙ ØÖÓÔ
ÔÔØØظ ÐÐ ÓÓØ Ò ÒÒÖÖÖÖ ÜÜÓÒ ÚÚÚÒØ ØÖÓÔ ÜÜÜ×××× Ø ÐÐ ÑÑ××× ÖÖ×ØØ ×ÙÖ Ð³³ÜÜ
´×ØØØØÐÐØØ x = 0µº
¿ººº¿ ÈÖÓÓÐÐÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ÓÙ×¹¹ÖÖØØÕÙÙ ÑÔÔÖÖÖÖØØ
ÓÒ××××ÖÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×ÙÙÚÚÒØØ ÕÙÙ ÒØÖÓÓÙÙØ ÙÒ ØØÖÑÑ ³³ÑÔÔÖÖÖÖ¹
ØØÓÒ ν ÕÙÙ ÖÖ×× ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ
dA
dτ
= A + A
3 − A
5 + ν.
´¿ºº½µ
××ÙØØÞ ÐÐ ÓÖÑÑ Ù ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ º ÓÒ××××ÖÖÞ
ÐÐ× ÙÜ ×××ÒÒ× ÔÓ××××ÐÐ× Ù ØØÖÑÑ ³³ÑÔÔÖÖÖÖØØÓÒ ν > 0 Ø ν < 0 ´ÚÓÓÖ ÐÐ ÙÖÖ ¿º¿¾¸
ÕÙÙ × ÖÖ×ÙÐØØØ× ÔÔÖØØØÐ× Ò ÙÙÙÙÖ Ð³³ÒÒÐÝ××µº
¿ºººº ÈÖÓÓÐÐÑÑ ÙÐÐÖ Ø ÐÐ ÐÑ ××ÚÓÒ
ÓÒ××××ÖÓÒ× ÙÒ ÐÑ ××ÚÓÒ ØØÒÒÙ ÔÔÖ ÙÜ ÜÒÒÒÒÙÜ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¿¿µº ÆÓÙ× ÒÓÙ×
ÔÖÓÔÓ×ÓÒ׸ Ò× ØØØ ×××ØØÓÒ¸ ³ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ÓÖÑÑ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ÓÔØØØ ÔÔÖ ÐÐ ÐÑ
××ÚÓÒº ØØØ ÖÒÒÒÖÖ ×Ø ÓÒØÖÖÖÒØØ ÔÔÖ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ × ÜÒÒÒÒÙÜ ÜÙÜ ÜÜØÖÖÑÑØØ×
Ø ×× ÔÐÓÓÓ ØÓÙØ Ò ÑÑÒÒÑÑ××ÒØ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ×ÙÖÖÖÖÖ F =
R
γdS¸ Ó γ ×Ø ÐÐ Ò××ØØ
³³ÒÒÖÖÖÖ ×ÙÖÖÖÖÖ ´´ÒÒÖÖÖÖ ÔÔÖ ÙÒÒØØ ×ÙÖÖÖÖÖµ Ø dS ×Ø ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ ÐÐÑÑÒØØØÖÖº
Ò ×ÙÔÔÓ××ÒØ ÕÙÙ ÐÐ Ò××ØØ ³³ÒÒÖÖÖÖ ×ÙÖÖÖÖÖ ×Ø ÓÒ×ØØÒØظ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒÒ
ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÔÓÙÖ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ F
F = γ
Z
dS.
´¿ºº¾µ
ÅÅÒÒÑÑ××Ö Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ×ÙÖÖÖÖÖ F ÖÖÚÚÚÒØ Ò×× ÑÑÒÒÑÑ××Ö Ð³³³ÖÖ S =
R
dS Ù ÐÑ
××ÚÓÒº
ÇÖ¸ г³³ÖÖ ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ ÐÐÑÑÒØØØÖÖ dS ´´Ò ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ¿º¿¿µ ×Ø ÓÒÒÒÒ
ÔÔÖ dS = 2πrds¸ Ò× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÙÖÚÚÐÐÐÒÒ׸ ÓÓ r ×Ø ÐÐ ÖÖÝÓÒ Ù
ÖÖÐÐ ÐÐ ÙØØÙÖ z Ø ds ×Ø Ð³³³×××××× ÙÖÚÚÐÐÐÒÒ ØØÐÐÐ ÕÙ³³ÒÒÒÕÙÙÙ ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ
¿º¿¿ Ò ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÝÐÐÒÒÖÖÕÙÙ׸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÐÐÑÑÒØ
ÜÔÖÖÑÑÖ Ð³³³ÖÖ dS ÓÑÑÑ dS = 2πr
√
dr 2 + dz 2 ¸ dz ÐÐ ÙØØÙÖ ÐÐÑÑÒØØØÖÖº