¿º ÄÄ× ÙØÖÖ× ÙÖÖÖØØÓÒ× ÒÒÖÖÕÙÙ×
ÓÓ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ α ÑÑ×ÙÖÖ ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ ÒÒÖÖÖÖ ÓÙÖÖÙÖÖ Ø ÒÒÖÖÖÖ ÖÖÖÖÖÙÖ
Ù ÖÖ××ÓÖغ
ËË ÐÐ ØØÙÖ Δ ×Ø ÔÓ××ØØظ г³ÒÒÖÖÖÖ ØÓØØÐÐ ET ÔÓ××××× ÙÒ ÑÑÒÒÙÑ Ò x = 0¸ ÕÙÙ
ÙÒ ÔÓÓÒØ ÜÜ ×ØØØÐк ÔÓÓÒØ ÜÜ Ò×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ Δ ÒÒÒÒØØغ ÄÄ
ÓÒÒÒØØÓÒ Δ = 0 ×Ø ××ØØ××××ØØ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ lc ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ÓÖÖÞÓÒØØÐÐ l
Ù ÖÖ××ÓÖØ ØØÐÐÐ ÕÙÙ
c =
0 +
p
2
0 − 4α
2
.
´¿ºººµ
ÁÐ ÜÜ×ØØ ÙÒÒ ÙÜÜÜÑÑ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ
c
c = [0 −
p
2
0 − 4α]/2 <
ÓÒ× Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ØÓØØÐÐ ET Ù ×Ý×ØØÑÑ Ò ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ ÖÓÓ×××ÒÒÒ
Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ù×ÕÙ³³ ÕÙÙ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ØØØØØÒÒ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ = c ÓÖÖÖ¹
×ÔÓÒÒÒÒØ Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÒÒÒÑÑÒØ ÓÙÖÖÙÖÖ Ð³³ÒÒÖÖÖÖº
ÈÓÙÖ ××ÙÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ c ÑÑÙÖÖ ÙÒÒ ÕÙÙÒØØØØ ÖÖÖÐÐи Ð ×Ø ÒÒÒÒ××××ÖÖ
ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ α < <
2
0 /4¸ ÕÙÙ ×××ÒÒÒÒ ÔÔÝ××ÕÙÙÑÑÒØ Õ Ù Ð Ó Ø
Ò ÒÒÖÖÖÖ ÓÙÖÖÙÖÖ ÒÒ ÓÓØ ÔÔ× ØÖÖ ØÖÓÔ ÔÓÙÖ ÕÙÙ ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ x = 0
ÔÙÙ××׸ ظ Ò×ØØØÐÐ ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ×× ÓÑÔÖÖÒÒ ÒØÙÙØØÚÑÑÒØ ×× ÐÐ ÓÓØ
Ò ÒÒÖÖÖÖ ÜÜÓÒ ×Ø ØÖÓÔ ÐÐ ÑÑ××× ÒÒ ÚÚÚ ÔÔ× Ð³³ÓÖÖÞÓÒØØÐк
ÄÄ ÓÙÖÖÙÖÖ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ×Ø ÒÒÒÒØØÚ¸ Δ < 0¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖ××ÓÖØ
ÔÖÓÓÓØØØ Ð³³ÓÖÖÞÓÒØØÐÐ ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ c ´ <
г³ÓÖÖÞÓÒØØÐк ÈÓÙÖ ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ÐÐ ÑÑ××׸ Ð ÙØ
ØÙÙÙÙÖ Ð³³³³Ø Ù ØØÖÑÑ Ò x
4 º º Ù Ú ÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ ´ cµ¸ ÐÐ
ÒÓØØ C4 Ù ØØÖÑÑ Ò x
4 ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ
C4 =
kk
2
0
2
[1 +
√ 1 − ¯
α − 2¯ α],
´¿ºººµ
Ú ¯
α ≡ 4α//
2
0 º ij³ØÙÙÙ Ù ×××ÒÒ Ù ÓÓÓÓÓÓÒØ C4 ÒÒØ ÓÑÑÑÒÒ× ÔÓÙÖ
ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¯
α ØØÐ× ÕÙÙ
j
C4 > 0,
0 < ¯
α <
3
4
C4 < 0,
3
4
< ¯
α < 1
ff
.
´¿ºººµ
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ C4 ×Ø ÔÓ××ØØظ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò x
4 ¸ ÓÓØØÒÙ ÐÓÖ× Ù ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ
Ì Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ØÓØØÐÐ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ x = 0 ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ¿ºººµ¸
ÓÒÒÙÙØ ÐÐ ××ØÙÖÖØØÓÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ð ÑÑ××× ÚÓÐÙÙ ÚÚÖ× ÙÒÒ ÒÓÙÚÐÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ
³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ¸ ÕÙÙ ÒÒØ ÐÐ × ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÓÙÖÖ ´ÓÙ ×ÙÖ¹¹ÖÖØØÕÙÙµº ÆÓØÓÒ×
ÕÙ³³Ð ÜÜ×ØØ ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ¯
α ÕÙÙ ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ C4 ´ ¯
α = 3/4µ ÔÓÓÒØ ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ
×Ø ÔÔÖÖÓÓ× ÔÔÔÐÐ ÔÓÓÒØ ÄÄÄ××××ØÞº
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ C4 ×Ø ÒÒÒÒØØظ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò x
4 ÖÖÒÒÓÖÖÖ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØظ ÕÙÙ
ÒÒØ ÙÒÒ ××ØÙÙØØÓÒ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ÓÙ×¹¹ÖÖØØÕÙÙº ÈÓÙÖ ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ×ØØØÙØ Ù
×Ý×ØØÑѸ Ð ×Ø ÐÓÖ× ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÔÓÙÖ×ÙÙÚÖÖ ÐÐ ÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ØÓØØÐÐ ET
гÓÖÖÖÖ ×ÙÙÚÚÒظ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ Ð³ÓÖÖÖÖ ¸ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ C6 Ù ØØÖÑÑ Ò
x
6 º Ò ×× ÔÐÐÐÐÒØ ÔÖÓÜÜÑÑØØ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÖÖØØÕÙÙ c¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
C6 =
kk
2
0
8
»
2¯ α −
1 +
√
1 − ¯
α
2
–
,
´¿ºººµ
ÓÓ ØØ ÖÖÑÔÐÐÐÐ ÔÔÖ cº ij³ÒÒÐÝ×× Ù ×××ÒÒ Ù C6 ÔÔÖÑÑØ ³³ØØØÐÐÖ
ÓÓ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ α ÑÑ×ÙÖÖ ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ ÒÒÖÖÖÖ ÓÙÖÖÙÖÖ Ø ÒÒÖÖÖÖ ÖÖÖÖÖÙÖ
Ù ÖÖ××ÓÖغ
ËË ÐÐ ØØÙÖ Δ ×Ø ÔÓ××ØØظ г³ÒÒÖÖÖÖ ØÓØØÐÐ ET ÔÓ××××× ÙÒ ÑÑÒÒÙÑ Ò x = 0¸ ÕÙÙ
ÙÒ ÔÓÓÒØ ÜÜ ×ØØØÐк ÔÓÓÒØ ÜÜ Ò×ØØØÐÐ ÔÓÙÖ Δ ÒÒÒÒØØغ ÄÄ
ÓÒÒÒØØÓÒ Δ = 0 ×Ø ××ØØ××××ØØ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ lc ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ÓÖÖÞÓÒØØÐÐ l
Ù ÖÖ××ÓÖØ ØØÐÐÐ ÕÙÙ
c =
0 +
p
2
0 − 4α
2
.
´¿ºººµ
ÁÐ ÜÜ×ØØ ÙÒÒ ÙÜÜÜÑÑ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ
c
c = [0 −
p
2
0 − 4α]/2 <
ÓÒ× Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ØÓØØÐÐ ET Ù ×Ý×ØØÑÑ Ò ÓÒÒØØÓÒ ÐÐ ÖÓÓ×××ÒÒÒ
Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ù×ÕÙ³³ ÕÙÙ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ØØØØØÒÒ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ = c ÓÖÖÖ¹
×ÔÓÒÒÒÒØ Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÒÒÒÑÑÒØ ÓÙÖÖÙÖÖ Ð³³ÒÒÖÖÖÖº
ÈÓÙÖ ××ÙÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ c ÑÑÙÖÖ ÙÒÒ ÕÙÙÒØØØØ ÖÖÖÐÐи Ð ×Ø ÒÒÒÒ××××ÖÖ
ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ α < <
2
0 /4¸ ÕÙÙ ×××ÒÒÒÒ ÔÔÝ××ÕÙÙÑÑÒØ Õ Ù Ð Ó Ø
Ò ÒÒÖÖÖÖ ÓÙÖÖÙÖÖ ÒÒ ÓÓØ ÔÔ× ØÖÖ ØÖÓÔ ÔÓÙÖ ÕÙÙ ÐÐ ÔÓÓÒØ ÜÜ x = 0
ÔÙÙ××׸ ظ Ò×ØØØÐÐ ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ×× ÓÑÔÖÖÒÒ ÒØÙÙØØÚÑÑÒØ ×× ÐÐ ÓÓØ
Ò ÒÒÖÖÖÖ ÜÜÓÒ ×Ø ØÖÓÔ ÐÐ ÑÑ××× ÒÒ ÚÚÚ ÔÔ× Ð³³ÓÖÖÞÓÒØØÐк
ÄÄ ÓÙÖÖÙÖÖ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ×Ø ÒÒÒÒØØÚ¸ Δ < 0¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ÖÖ××ÓÖØ
ÔÖÓÓÓØØØ Ð³³ÓÖÖÞÓÒØØÐÐ ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ c ´ <
г³ÓÖÖÞÓÒØØÐк ÈÓÙÖ ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ÐÐ ÑÑ××׸ Ð ÙØ
ØÙÙÙÙÖ Ð³³³³Ø Ù ØØÖÑÑ Ò x
4 º º Ù Ú ÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ ´ cµ¸ ÐÐ
ÒÓØØ C4 Ù ØØÖÑÑ Ò x
4 ×Ø ÓÒÒÒ ÔÔÖ
C4 =
kk
2
0
2
[1 +
√ 1 − ¯
α − 2¯ α],
´¿ºººµ
Ú ¯
α ≡ 4α//
2
0 º ij³ØÙÙÙ Ù ×××ÒÒ Ù ÓÓÓÓÓÓÒØ C4 ÒÒØ ÓÑÑÑÒÒ× ÔÓÙÖ
ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ¯
α ØØÐ× ÕÙÙ
j
C4 > 0,
0 < ¯
α <
3
4
C4 < 0,
3
4
< ¯
α < 1
ff
.
´¿ºººµ
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ C4 ×Ø ÔÓ××ØØظ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò x
4 ¸ ÓÓØØÒÙ ÐÓÖ× Ù ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ
Ì Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ØÓØØÐÐ Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ x = 0 ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ¿ºººµ¸
ÓÒÒÙÙØ ÐÐ ××ØÙÖÖØØÓÒ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ Ð ÑÑ××× ÚÓÐÙÙ ÚÚÖ× ÙÒÒ ÒÓÙÚÐÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ
³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ¸ ÕÙÙ ÒÒØ ÐÐ × ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ÓÙÖÖ ´ÓÙ ×ÙÖ¹¹ÖÖØØÕÙÙµº ÆÓØÓÒ×
ÕÙ³³Ð ÜÜ×ØØ ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ¯
α ÕÙÙ ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ C4 ´ ¯
α = 3/4µ ÔÓÓÒØ ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ
×Ø ÔÔÖÖÓÓ× ÔÔÔÐÐ ÔÓÓÒØ ÄÄÄ××××ØÞº
ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ C4 ×Ø ÒÒÒÒØØظ ÐÐ ØØÖÑÑ Ò x
4 ÖÖÒÒÓÖÖÖ Ð³³Ò×ØØØØÐÐØظ ÕÙÙ
ÒÒØ ÙÒÒ ××ØÙÙØØÓÒ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ ×ÓÙ×¹¹ÖÖØØÕÙÙº ÈÓÙÖ ØØÖÑÑÒÒÖ ÐÐ ×ØØØÙØ Ù
×Ý×ØØÑѸ Ð ×Ø ÐÓÖ× ÒÒÒÒ××××ÖÖ ÔÓÙÖ×ÙÙÚÖÖ ÐÐ ÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ð³³ÒÒÖÖÖÖ ØÓØØÐÐ ET
гÓÖÖÖÖ ×ÙÙÚÚÒظ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ Ð³ÓÖÖÖÖ ¸ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ÓÓÓÓÓÓÒØ C6 Ù ØØÖÑÑ Ò
x
6 º Ò ×× ÔÐÐÐÐÒØ ÔÖÓÜÜÑÑØØ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÖÖØØÕÙÙ c¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
C6 =
kk
2
0
8
»
2¯ α −
1 +
√
1 − ¯
α
2
–
,
´¿ºººµ
ÓÓ ØØ ÖÖÑÔÐÐÐÐ ÔÔÖ cº ij³ÒÒÐÝ×× Ù ×××ÒÒ Ù C6 ÔÔÖÑÑØ ³³ØØØÐÐÖ