¿º ÄÄ× ÙØÖÖ× ÙÖÖÖØØÓÒ× ÒÒÖÖÕÙÙ×
ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× ×ÙÙÚÒØ Ø
˙
ψ s
= −ψ s
˙
ψ
= ψ
2
− .
´¿º¾¾µ
Ò ÒØÖÓÓÙÙ××ÒØ ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A = (ψ s , ψ)¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ
Ù ×Ý×ØØÑÑ ×³³³ÖÖØ ×ÓÙ× ÙÒÒ ÓÖÑÑ ÓÒÒÒÒ××× ´´ÑÔÐÐØÙÙÙ ÚÚÚØØÙÖ ÖÖÚÚÒØ Ø ³ Ù Ò
ÔÓØØÒØØØÐ ×××ÐÐÐÖÖµ
˙
A = −∇V (ψ s , ψ)
´¿º¾¾µ
ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÒÒ ÓÑÑÑ
V =
ψ
2
s
2
+ ψ −
ψ
3
3
.
´¿º¿¼µ
ijÓÔÔÖÖØØÙÖ ÖÖÖÖÖÒØ ∇ ÔÓÙÖ ∂ ψs Ø ∂ ψ º ij³ÒÒÐÝ×× Ù ÔÓØØÒØØØÐ V
ÑÓÒØÖÖ ÕÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ØØÒÒ ÚÚÖ× 0 ´ → 0µ¸ Ð ÜÜ×ØØ ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ Ò×
ÐÐ× ÙÜ ÖÖÖØØÓÒ× ´ψ Ø ψ s µ ÙØÓÙÖ Ù ÔÓÓÒØ ÜÜ ×ØØØÐи Ø ÙÒ ÔÓÓÒØ ÓÐ ´ÓÙ
××ÐÐе ÙØÓÙÖ Ù ÔÓÓÒØ ÜÜ Ò×ØØØÐк ÄÓÖ×ÕÙÙ = 0¸ ÐÐ× ÙÜ ÔÓÓÒØ׸ ÓÐ Ø ÒÒÙÙ¸
Ù××ÓÒÒÒÒغ
ÁÑÑÑÑ ××ÑÔÐÐ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÓйÒÒÙÙ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ÓÖÖÖ
ËËÒ× ÚÓÓÖ ÖÖÖÓÙÖ× ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ׸ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÔÖÓÔÓ×ÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ³³ÒÒй
Ý××Ö ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ Ø Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ
ÓÖÖÖ Ò ×× ×ÙÖ ÙÒ ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒØ Ø Ø ÝÔÔ ÓÑÑØÖÖÕÙÙº
ÄÄ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ ØØØØÒØ Ù Ò ÔÓÓÒØ ÜÜ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ÓÖÖÖ× Ò
ÔÖÖ××ÒÒÒ ×³³ÕÙÙÐÐÐÖÖÒØ Ð³ÙÒÒ Ð³³ÙØÖÖ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÓÓÓÓØØÓÒ Ù ÔÓÓÓ×
p = mg ÐÐ ÐÓÒÒ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ø ÐÐ ÓÖÖÖ ÓÒ×ØØÒØØ f ¸ ÔÔÖ ÒÒØØÓÒ ØØÒÒÒÒØØ
Ù ÑÓÙÚÑÑÒظ ×ÓÒØ ³³³³ÐÐ ÑÔÐÐØÙÙÙ ÑÑÑ× ×××ÒÒ ´×ÓÓظ p t = −f ¸
Ú p t ÐÐ ÔÖÓÓÓÓØØÓÒ Ù ÔÓÓÓ× Ôµº ØØØ ××ØÙÙØØÓÒ ×× ÖÖÖÐÐ×× ÔÓÙÖ ÙÜ ÔÓÓÒØ×
³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ¸ гÙÒ ×ØØØÐÐ Ø Ð³³ÙØÖÖ Ò×ØØØÐÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º½½µ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ ÔÓÓÒØ
ÜÜ ×Ø ÒÒ ÔÔÖ Ð³³ÒÒÐÐ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ Ú Ð³³ÜÜ ÚÚÖØØØØÐ θ = θ 0 Ø ÐÐ ×××ÓÒÒ
ÔÔÖ Ð³³ÒÒÐÐ θ = π − θ 0 º Ò ÔÐÐÐÐÒØ ÐÐ ÑÑ××× Ò θ
0 Ù¹¹¹ÐÐ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ θ 0
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ÖÓÓØØ ¿º½½µ¸ ÐÐ ÔÖÓÓÓÓØØÓÒ Ù ÔÓÓÓ× p t ÜÜÜÜÜ ÐÐ ÓÖÖÖ f ÜÜÜ
´|p t | > |f |µ µ ÕÙÙ ×Ù×××ØØ ÙÒ Ø ÖÖÔÔÔÐ ÐÐ ÑÑ××× ÚÚÖ× ×× ÔÓ××ØØÓÒ
³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ÒÒØØØÐÐ ×ØØØÐÐ θ 0 º ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÑÑÑÑ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ×ØØØÐÐ
Ò θ 0 ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÑÑ××× ×Ø ÔÐÐÐÐÐ Ò θ
0 < θ 0 ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¾¼µ Ò× ×
ÙÖÖ¸ ÐÐ ÓÖÖÖ f г³ÑÔÓÖØØ ×ÙÖ ÐÐ ÔÖÓÓÓÓØØÓÒ Ù ÔÓÓÓ× ´|f | > |p t |µ µ Ø Ø Ü Ö
Ò×× ÙÒÒ ÓÖÖÖ ÖÖÔÔÔÐ ÚÚÖ× ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ×ØØØÐÐ θ 0 º
ÄÄ ×××ÓÒÒ ÔÓÓÒØ Üܸ ××ØÙÙ Ò θ = π − θ 0 ¸ ×Ø Ò×ØØØÐÐ ÙÒÒ ÚÚÚØØÓÒ ÚÖ×
ÐÐ ÙØ ÐÐ ÑÑ××× Ò θ = θ
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¾½µ¸ ÓÒÒÙÙØ ØØØ ÓÓ×¹¹¹ ÙÒÒ
ÔÐÙ× ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÔÓÓÓ× ÔÖÓÓÓØØ p t ´|f | > |p t µ ÐÐ ÓÖÖÖ f ÜÜÜÜÜ ØÓÙÙÓÙÖ×
Ò ÑÓÓÙÐÐ ÐÐ ÔÓÓÓ× ÔÖÓÓÓØظ ÕÙÙ ÔÓÙÖ ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ ³³ÐÓÓÓÒÒÖ ØÓÙÙÓÙÖ× ÔÐÙ×
ÐÓÓÒ ÐÐ ÑÑ××× ×× ÔÓ××ØØÓÒ ÒÒØØØÐк ÄÄ ÑÑ××× ØÙÙ ÙÒÒ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò× ÐÐ
××Ò× ÓÒØÖÖÖÖÖ × ÙÙÐÐÐ× ³ÙÒÒ ÑÓÒØÖÖ Ø ÖÖÖÓÓÒØ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ ×ØØØÐÐ ´´ÔÖÖ×
ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× ×ÙÙÚÒØ Ø
˙
ψ s
= −ψ s
˙
ψ
= ψ
2
− .
´¿º¾¾µ
Ò ÒØÖÓÓÙÙ××ÒØ ÐÐ ÚÚÚØØÙÖ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A = (ψ s , ψ)¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓÐÙØØÓÒ
Ù ×Ý×ØØÑÑ ×³³³ÖÖØ ×ÓÙ× ÙÒÒ ÓÖÑÑ ÓÒÒÒÒ××× ´´ÑÔÐÐØÙÙÙ ÚÚÚØØÙÖ ÖÖÚÚÒØ Ø ³ Ù Ò
ÔÓØØÒØØØÐ ×××ÐÐÐÖÖµ
˙
A = −∇V (ψ s , ψ)
´¿º¾¾µ
ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÒÒ ÓÑÑÑ
V =
ψ
2
s
2
+ ψ −
ψ
3
3
.
´¿º¿¼µ
ijÓÔÔÖÖØØÙÖ ÖÖÖÖÖÒØ ∇ ÔÓÙÖ ∂ ψs Ø ∂ ψ º ij³ÒÒÐÝ×× Ù ÔÓØØÒØØØÐ V
ÑÓÒØÖÖ ÕÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ØØÒÒ ÚÚÖ× 0 ´ → 0µ¸ Ð ÜÜ×ØØ ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ Ò×
ÐÐ× ÙÜ ÖÖÖØØÓÒ× ´ψ Ø ψ s µ ÙØÓÙÖ Ù ÔÓÓÒØ ÜÜ ×ØØØÐи Ø ÙÒ ÔÓÓÒØ ÓÐ ´ÓÙ
××ÐÐе ÙØÓÙÖ Ù ÔÓÓÒØ ÜÜ Ò×ØØØÐк ÄÓÖ×ÕÙÙ = 0¸ ÐÐ× ÙÜ ÔÓÓÒØ׸ ÓÐ Ø ÒÒÙÙ¸
Ù××ÓÒÒÒÒغ
ÁÑÑÑÑ ××ÑÔÐÐ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÓйÒÒÙÙ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ÓÖÖÖ
ËËÒ× ÚÓÓÖ ÖÖÖÓÙÖ× ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ׸ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÔÖÓÔÓ×ÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ³³ÒÒй
Ý××Ö ÐÐ ×ØØØØÐÐØØ Ø Ð³³Ò×ØØØØÐÐØØ × ÔÓÓÒØ× ÜÜ× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ
ÓÖÖÖ Ò ×× ×ÙÖ ÙÒ ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒØ Ø Ø ÝÔÔ ÓÑÑØÖÖÕÙÙº
ÄÄ ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ù ×Ý×ØØÑÑ ØØØØÒØ Ù Ò ÔÓÓÒØ ÜÜ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ÓÖÖÖ× Ò
ÔÖÖ××ÒÒÒ ×³³ÕÙÙÐÐÐÖÖÒØ Ð³ÙÒÒ Ð³³ÙØÖÖ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÓÓÓÓØØÓÒ Ù ÔÓÓÓ×
p = mg ÐÐ ÐÓÒÒ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ø ÐÐ ÓÖÖÖ ÓÒ×ØØÒØØ f ¸ ÔÔÖ ÒÒØØÓÒ ØØÒÒÒÒØØ
Ù ÑÓÙÚÑÑÒظ ×ÓÒØ ³³³³ÐÐ ÑÔÐÐØÙÙÙ ÑÑÑ× ×××ÒÒ ´×ÓÓظ p t = −f ¸
Ú p t ÐÐ ÔÖÓÓÓÓØØÓÒ Ù ÔÓÓÓ× Ôµº ØØØ ××ØÙÙØØÓÒ ×× ÖÖÖÐÐ×× ÔÓÙÖ ÙÜ ÔÓÓÒØ×
³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ¸ гÙÒ ×ØØØÐÐ Ø Ð³³ÙØÖÖ Ò×ØØØÐÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º½½µ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ ÔÓÓÒØ
ÜÜ ×Ø ÒÒ ÔÔÖ Ð³³ÒÒÐÐ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ Ú Ð³³ÜÜ ÚÚÖØØØØÐ θ = θ 0 Ø ÐÐ ×××ÓÒÒ
ÔÔÖ Ð³³ÒÒÐÐ θ = π − θ 0 º Ò ÔÐÐÐÐÒØ ÐÐ ÑÑ××× Ò θ
0 Ù¹¹¹ÐÐ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ θ 0
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ÖÓÓØØ ¿º½½µ¸ ÐÐ ÔÖÓÓÓÓØØÓÒ Ù ÔÓÓÓ× p t ÜÜÜÜÜ ÐÐ ÓÖÖÖ f ÜÜÜ
´|p t | > |f |µ µ ÕÙÙ ×Ù×××ØØ ÙÒ Ø ÖÖÔÔÔÐ ÐÐ ÑÑ××× ÚÚÖ× ×× ÔÓ××ØØÓÒ
³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ÒÒØØØÐÐ ×ØØØÐÐ θ 0 º ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÑÑÑÑ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ×ØØØÐÐ
Ò θ 0 ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÑÑ××× ×Ø ÔÐÐÐÐÐ Ò θ
0 < θ 0 ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¾¼µ Ò× ×
ÙÖÖ¸ ÐÐ ÓÖÖÖ f г³ÑÔÓÖØØ ×ÙÖ ÐÐ ÔÖÓÓÓÓØØÓÒ Ù ÔÓÓÓ× ´|f | > |p t |µ µ Ø Ø Ü Ö
Ò×× ÙÒÒ ÓÖÖÖ ÖÖÔÔÔÐ ÚÚÖ× ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ×ØØØÐÐ θ 0 º
ÄÄ ×××ÓÒÒ ÔÓÓÒØ Üܸ ××ØÙÙ Ò θ = π − θ 0 ¸ ×Ø Ò×ØØØÐÐ ÙÒÒ ÚÚÚØØÓÒ ÚÖ×
ÐÐ ÙØ ÐÐ ÑÑ××× Ò θ = θ
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¾½µ¸ ÓÒÒÙÙØ ØØØ ÓÓ×¹¹¹ ÙÒÒ
ÔÐÙ× ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù ÔÓÓÓ× ÔÖÓÓÓØØ p t ´|f | > |p t µ ÐÐ ÓÖÖÖ f ÜÜÜÜÜ ØÓÙÙÓÙÖ×
Ò ÑÓÓÙÐÐ ÐÐ ÔÓÓÓ× ÔÖÓÓÓØظ ÕÙÙ ÔÓÙÖ ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ ³³ÐÓÓÓÒÒÖ ØÓÙÙÓÙÖ× ÔÐÙ×
ÐÓÓÒ ÐÐ ÑÑ××× ×× ÔÓ××ØØÓÒ ÒÒØØØÐк ÄÄ ÑÑ××× ØÙÙ ÙÒÒ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò× ÐÐ
××Ò× ÓÒØÖÖÖÖÖ × ÙÙÐÐÐ× ³ÙÒÒ ÑÓÒØÖÖ Ø ÖÖÖÓÓÒØ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ ×ØØØÐÐ ´´ÔÖÖ×