¿¿
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
> >
∗
ÄÄ ÔÓØØÒØØØÐ V ØÖÓÓ× ÜØÖÖÑÑ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿ººµ¸ Ò ØÖÓÓ× ÔÓÓÒØ× ÒÓØØ× A 0
´A 0 > 0µ ÙÒ ÑÑÒÒÑÙѸ A − Ø A + ´´Ú A − < A + < 0µ µ
A − ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ V ¸ Ø ÓÒÒ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐи ÐÓÖ×
ÕÙÙ A + ÙÒ ÑÑÜÜÑÙѸ Ø ÓÒÒ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò×ØØØÐк
=
∗
ÄÄ ÔÓØØÒØØØÐ V ÙÜ ÜØÖÖÑѸ ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ Ò A 0 Ø ÙÒ ÙØÖÖ ÜØÖÖÑÙÑ
Ò A + = A − ¸ ÐÐ Ù××ÓÒ × ÙÜ ÜØÖÖÑÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ Ò
ÙÒ ÔÓÓÒØ ³³ÒÒÒÜÜÓÒ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿ººµº
ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÖÖ×××Ö ÐÐ ÔÓÖØÖÖÖØ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ¸ ÒÓÑÑÑ
ÐÐÑÑÒØ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ Ø ÖÖÔÖÖ××ÒØØÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ × ÑÔÐÐØÙÙÙ× A 0 Ø A − ¸ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ×ØØØÐÐ ´ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ× Ò ØÖÖÖØ
ÓÒØØÒÙ ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ¿ººµ Ò×× ÕÙÙ A + ¸ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ Ò×ØØØÐÐ ´ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ Ò
ÐÐÐÒÒ ÖÖ××× ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ¿ººµº ÔÓÖØÖÖÖØ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ÐÐÙ×ØÖÖ ÐÐ
ÖÖÒÒÒ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ ÔÓÙÖ × ÑÔÐÐØÙÙÙ× ÔÓ××ØØÚ× ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ×
ÑÔÐÐØÙÙÙ× ÒÒÒÒØØÚ× ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× A > 0 Ø A < 0 ÒÒ ×ÓÒØ Ô × ÕÙÙÚ¹
ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×Ø ÖÖÖØØÖÖ×× ÔÔÖ ÙÒÒ ÖÖ×ÙÖÖ ÜØÖÖÒ××ÕÙÙ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ
A → −A ØØØ ÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ÐÓÖ× ØØ ÑÔÖÖÖÖØغ
ÆÓØÓÒ× ÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒÒ ÓÖÖÖ ÔÓ××ØØÚ ´ f > 0¸ ººº ÓÖÖÖ ÓÖÖÖÒØØØ
ÚÚÖ× Ð³³ÜÜ × ÑÔÐÐØÙÙÙ× × x ÔÓ××ØØÚ×µ ÚÓÖÖ×× ÔÓÙÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ A + Ò ÓÔØØÒØ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÓÖÖÖ ÒÒÒÒØØÚÚ ´f < 0¸ ººº ÓÖÖÖ ÓÖÖÖÒØØØ
ÚÚÖ× Ð³³ÜÜ × ÑÔÐÐØÙÙÙ× × x Ò Ø Ú ×µ¸ ÐÐ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø
ÓÓØØÒÙ ÔÔÖ ÙÒ ××ÑÔÐÐ ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÐРг³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ A Ò −A ´ÚÓÓÖ
ÙÖÖ ¿ººµº
¿º½º½ ÍÒ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ×
ÁÒ×××ØÓÒ× ×ÙÖ ÐÐ Ø ÕÙÙ¸ Ò× ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ÖÖÖÐ׸ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ A → −A ×Ø
ÙÒ Ð ÑÑÑ× ØØØØÒغ ÁÐ ×Ø ÑÔÓÖØØÒØ ÖÖÑÑÖÕÙÙÖ Ù××× ÕÙÙ¸ ÕÙÙÐÐÐ ÕÙÙ
×ÓÓØ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù ØØÖÑÑ ³³ÑÔÔÖÖÖÖØØÓÒ ν¸ ÑÑÑÑ ÖÖÖØÖÖÖÖÖÑÑÒØ ÔÔØØØظ ÐÐ
ÙÖÖÖØØÓÒ ×ÙÙÙ ÙÒ ÕÙÙÐÐØØØØØ ´´ÓÑÔÔÖÖÖ ÐÐ×
ÙÖÖ× ¾ºº Ø ¿ººµº ÄÄ ÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ÓÒÒ ØÖÖ× ××Ò×××ÐÐ ÙÒÒ ÔÔÖØÙÖ¹
ØØÓÒ ÜØØÖÖÖÙÖÖº Ò ÕÙÙÐÕÙÙ ×ÓÖØظ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÓÙÖÖ ÔÔÙØ ØÖÖ ÓÒ××××ÖÖÖ
ÓÑÑÑ ÙÒÒ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ ÖÖÖÖÐÐ Ù ÑÓÓÓÐÐ ÐÐÐ Ò³³×Ø Ò Ø ÔÔ× ÖÓÓÙ×Øظ
ÔÙÙ×ÕÙ³ÙÒÒ ÒÒÑÑ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ Ù ÑÓÓÓÐÐ ÑÔÐÐÕÙÙ ÙÒ ÕÙÙÐÐØØØØØ
ÑÔÓÖØØÒغ ÆÓÙ× Ò×× ÐÐ ÒÓØØÓÒ ×ØØØØÐÐØØ ×ØÖÙÙØÙÖÖÐÐÐ ÚÚÐÓÔ¹
ÔÔÔ Ò× ÐÐ ÖÖ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ׺ ÄÄ ÙÖÖÖØØÓÒ ÓÙÖÖ ×Ø
Ò×× ØØ ×ØÖÙÙØÙÖÖÐÐÐÑÑÒØ Ò×ØØØÐÐ ×× ÓÖÑÑ ÒÒ ÖÖ×××ØØ ÔÔ× ÙÜ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ׸
ÑÑÑÑ ÒÒÑÑ׸ Ù ÑÓÓÓÐÐ º Ò ÖÖÚÒÒ¸ Р׳³ÚÚÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ Ñ¹
ÔÔÖÖÖÖØØ ×Ø ×ØÖÙÙØÙÖÖÐÐÐÑÑÒØ ×ØØØÐÐ Ù ××Ò× × ØØ×ØÖÓÔÔÔ׺ ØØØ ÙÖÖÖØØÓÒ
Ù××× Ò ÔÔÖÖÖÖØØ ÕÙ³³ÑÔÔÖÖÖÖØظ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÑÑÐÐÐ ×
××ÔØ ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ÐÐÑÑÒØØØÖÖ׸ ØØ ØØ×ØÖÓÔÔÔ Ù×Ô ´ÓÙ ÖÓÒÒÒµº × ÓÒ¹
××××ÖÖØØÓÒ× ×ÓÒØ Ø Ú ÔÐÙ× Ò ØØØÐ Ò× ÐÐ ÔÖÓÓÒ ÔÔØÖÖº
ÜÜÖÖÖÖÖ ÑÓÒØÖÖÖ ÕÙÙ A ∼ ν
1/3
ÔÓÙÖ ÔÔØØغ ÈÖÖÖÖ××Ö ÐÐ ÚÐÐÐÐØØ ØØ ØØØ
ÖÖÐÐØØÓÒ¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÔÓÙÖ ÕÙÙ ØØØ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÓÓØ ÚÚÐÐÐÐк
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
> >
∗
ÄÄ ÔÓØØÒØØØÐ V ØÖÓÓ× ÜØÖÖÑÑ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿ººµ¸ Ò ØÖÓÓ× ÔÓÓÒØ× ÒÓØØ× A 0
´A 0 > 0µ ÙÒ ÑÑÒÒÑÙѸ A − Ø A + ´´Ú A − < A + < 0µ µ
A − ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ V ¸ Ø ÓÒÒ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐи ÐÓÖ×
ÕÙÙ A + ÙÒ ÑÑÜÜÑÙѸ Ø ÓÒÒ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò×ØØØÐк
=
∗
ÄÄ ÔÓØØÒØØØÐ V ÙÜ ÜØÖÖÑѸ ÙÒ ÑÑÒÒÑÙÑ Ò A 0 Ø ÙÒ ÙØÖÖ ÜØÖÖÑÙÑ
Ò A + = A − ¸ ÐÐ Ù××ÓÒ × ÙÜ ÜØÖÖÑÑ Ù ÔÓØØÒØØØÐ Ò
ÙÒ ÔÓÓÒØ ³³ÒÒÒÜÜÓÒ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿ººµº
ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÖÖ×××Ö ÐÐ ÔÓÖØÖÖÖØ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ¸ ÒÓÑÑÑ
ÐÐÑÑÒØ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ¸ Ø ÖÖÔÖÖ××ÒØØÖ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ × ÑÔÐÐØÙÙÙ× A 0 Ø A − ¸ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ×ØØØÐÐ ´ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ× Ò ØÖÖÖØ
ÓÒØØÒÙ ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ¿ººµ Ò×× ÕÙÙ A + ¸ ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ Ò×ØØØÐÐ ´ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ Ò
ÐÐÐÒÒ ÖÖ××× ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ¿ººµº ÔÓÖØÖÖÖØ × ×ÓÐÙØØÓÒ× ³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ ÐÐÙ×ØÖÖ ÐÐ
ÖÖÒÒÒ ÓÑÔÓÖØØÑÑÒØ ÔÓÙÖ × ÑÔÐÐØÙÙÙ× ÔÓ××ØØÚ× ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ ×
ÑÔÐÐØÙÙÙ× ÒÒÒÒØØÚ× ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× A > 0 Ø A < 0 ÒÒ ×ÓÒØ Ô × ÕÙÙÚ¹
ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ×Ø ÖÖÖØØÖÖ×× ÔÔÖ ÙÒÒ ÖÖ×ÙÖÖ ÜØÖÖÒ××ÕÙÙ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ
A → −A ØØØ ÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ÐÓÖ× ØØ ÑÔÖÖÖÖØغ
ÆÓØÓÒ× ÒÒÒ ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒÒ ÓÖÖÖ ÔÓ××ØØÚ ´ f > 0¸ ººº ÓÖÖÖ ÓÖÖÖÒØØØ
ÚÚÖ× Ð³³ÜÜ × ÑÔÐÐØÙÙÙ× × x ÔÓ××ØØÚ×µ ÚÓÖÖ×× ÔÓÙÖ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
³³ÕÙÙÐÐÐÖÖ A + Ò ÓÔØØÒØ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÓÖÖÖ ÒÒÒÒØØÚÚ ´f < 0¸ ººº ÓÖÖÖ ÓÖÖÖÒØØØ
ÚÚÖ× Ð³³ÜÜ × ÑÔÐÐØÙÙÙ× × x Ò Ø Ú ×µ¸ ÐÐ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø
ÓÓØØÒÙ ÔÔÖ ÙÒ ××ÑÔÐÐ ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÐРг³ÑÔÐÐØÙÙÙ¸ A Ò −A ´ÚÓÓÖ
ÙÖÖ ¿ººµº
¿º½º½ ÍÒ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ×
ÁÒ×××ØÓÒ× ×ÙÖ ÐÐ Ø ÕÙÙ¸ Ò× ÐÐ× ×Ý×ØØÑÑ× ÖÖÖÐ׸ ÐÐ ×ÝÑÑØÖÖÖ A → −A ×Ø
ÙÒ Ð ÑÑÑ× ØØØØÒغ ÁÐ ×Ø ÑÔÓÖØØÒØ ÖÖÑÑÖÕÙÙÖ Ù××× ÕÙÙ¸ ÕÙÙÐÐÐ ÕÙÙ
×ÓÓØ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ù ØØÖÑÑ ³³ÑÔÔÖÖÖÖØØÓÒ ν¸ ÑÑÑÑ ÖÖÖØÖÖÖÖÖÑÑÒØ ÔÔØØØظ ÐÐ
ÙÖÖÖØØÓÒ ×ÙÙÙ ÙÒ ÕÙÙÐÐØØØØØ ´´ÓÑÔÔÖÖÖ ÐÐ×
ÙÖÖ× ¾ºº Ø ¿ººµº ÄÄ ÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ÓÒÒ ØÖÖ× ××Ò×××ÐÐ ÙÒÒ ÔÔÖØÙÖ¹
ØØÓÒ ÜØØÖÖÖÙÖÖº Ò ÕÙÙÐÕÙÙ ×ÓÖØظ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÓÙÖÖ ÔÔÙØ ØÖÖ ÓÒ××××ÖÖÖ
ÓÑÑÑ ÙÒÒ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ ÖÖÖÖÐÐ Ù ÑÓÓÓÐÐ ÐÐÐ Ò³³×Ø Ò Ø ÔÔ× ÖÓÓÙ×Øظ
ÔÙÙ×ÕÙ³ÙÒÒ ÒÒÑÑ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ Ù ÑÓÓÓÐÐ ÑÔÐÐÕÙÙ ÙÒ ÕÙÙÐÐØØØØØ
ÑÔÓÖØØÒغ ÆÓÙ× Ò×× ÐÐ ÒÓØØÓÒ ×ØØØØÐÐØØ ×ØÖÙÙØÙÖÖÐÐÐ ÚÚÐÓÔ¹
ÔÔÔ Ò× ÐÐ ÖÖ ÐÐ ØØØÓÖÖÖ × ØØ×ØÖÓÔÔÔ׺ ÄÄ ÙÖÖÖØØÓÒ ÓÙÖÖ ×Ø
Ò×× ØØ ×ØÖÙÙØÙÖÖÐÐÐÑÑÒØ Ò×ØØØÐÐ ×× ÓÖÑÑ ÒÒ ÖÖ×××ØØ ÔÔ× ÙÜ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ׸
ÑÑÑÑ ÒÒÑÑ׸ Ù ÑÓÓÓÐÐ º Ò ÖÖÚÒÒ¸ Р׳³ÚÚÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ Ñ¹
ÔÔÖÖÖÖØØ ×Ø ×ØÖÙÙØÙÖÖÐÐÐÑÑÒØ ×ØØØÐÐ Ù ××Ò× × ØØ×ØÖÓÔÔÔ׺ ØØØ ÙÖÖÖØØÓÒ
Ù××× Ò ÔÔÖÖÖÖØØ ÕÙ³³ÑÔÔÖÖÖÖØظ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÑÑÐÐÐ ×
××ÔØ ØØ×ØÖÓÔÔÔ× ÐÐÑÑÒØØØÖÖ׸ ØØ ØØ×ØÖÓÔÔÔ Ù×Ô ´ÓÙ ÖÓÒÒÒµº × ÓÒ¹
××××ÖÖØØÓÒ× ×ÓÒØ Ø Ú ÔÐÙ× Ò ØØØÐ Ò× ÐÐ ÔÖÓÓÒ ÔÔØÖÖº
ÜÜÖÖÖÖÖ ÑÓÒØÖÖÖ ÕÙÙ A ∼ ν
1/3
ÔÓÙÖ ÔÔØØغ ÈÖÖÖÖ××Ö ÐÐ ÚÐÐÐÐØØ ØØ ØØØ
ÖÖÐÐØØÓÒ¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÔÓÙÖ ÕÙÙ ØØØ ÖÖÐÐØØÓÒ ×ÓÓØ ÚÚÐÐÐÐк