¿¼¼
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÙÖÖ ½¾º¿ ÈÓÖØÖÖÖØ ×ÔÔØØÓ¹ØØÑÔÓÖÖÐ Ò× ÐÐ × ³ÙÒÒ ØÙÖÖÙÐÐÒÒÒ ÒÒØØØØ ÔÔÖ ÐÐ×
ÙØ׺ ÄÄ ÙÖÖ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ |A|¸ Ø ÐÐÐ ÖÓÓØØ |A| Ò ÓÒÒØØÓÒ x
Ò× ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÔÔÖÑÑÒÒÒغ α = 2¸ β = −2º
ÖÓÒØØØÖÖ¸ г³ÜÜ×ØØÒÒÒ ³ÓÒÒÒ× ÔÐÐÒÒ× ×Ø ÔÓ××××Ðи ÑÑÑ× ÐÐÐ× ÓÓÜÜ×ØØÒØ Ø Ú ×
×ÓÐÙØØÓÒ× ÔÐÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ׸ ØØ× ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÒÒÒ× ¹¹ÔÖÖ× ´ÚÓÓÖ ÐÐ
×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ ½¾ººººµº Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÓÒ α > −1/β¸ ÙÜ ØÝÔÔ× ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ×ÓÒØ
ÔÓ××××ÐÐ× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¾º¾µº
´´µ ÄÄ ØÙÖÖÙÐÐÒÒÒ ÔÖ ÐÐ× ÙØ× Ò× ×¸ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø
ØØÐÐÐ ÕÙÙ ÐÐ ÑÓÓÙÐÐ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×Ø ÒÙÐ ´´ºº |A| = 0µ ÐÐ ÐÓÒÒ Ð³³ÜÜ
Ox¸ ¸ Ò Ò × Ô Ó Ò Ø× ÒÓÑÑÑ× ÙØ× ÐÐ ÔÔÔ×× ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ÓÒÒ
ÖÖÖØÖÖÖÖÖ Ò × ÔÓÓÒØ׺ Ò×׸ Ò ØÖÖÚÖ××ÒØ × ÔÓÓÒØ׸ ÐÐ ÔÔÔ×× ÔÔÙØ
ÚÚÖÖÖÖ ÔÔÖ ÙÒ ÑÙÐØØÔÐÐ 2π/L ÓÓ L ×Ø ÐÐ ØØØÐÐÐ ÐÐØØÖÖÐÐ Ù ×Ý×ØØÑÑ ´ÚÓÓÖ
ÐÐ ÔÓÖØÖÖÖØ ×ÔÔØØÓ¹ØØÑÔÓÖÖÐ ØØØ Ò×ØØØØÐÐØØ Ø ÐÐ ÓÒÒÒÙÖÖØØÓÒ |A|
Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÔÔÖÑÑÒÒÒظ ÙÖÖ ½¾º¿µº
´´´µ ÄÄ ØÙÖÖÙÐÐÒÒ Ô × º Ò× ×¸ ÐÐ ÑÓÓÙÐÐ |A| г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÒ
׳³ÔÔÖÓÓÓÓ ÔÔ× ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÞÞÖÓ Ø ÐÐ ÔÔÔ×× ØÓØØÐÐ ×Ø ØÝÔÔ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÐÐÐÙ ÔÖÖ× ÐÐ ÖÓÒØØØÖÖ ÒÒÒÑÑÒ¹¹Ö г³Ò×ØØØØÐÐØØ
Ù ÑÑÑÑ ÒÓÑ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¾º¾µº Ò× ÚÓÓ××ÒÒÒÒ¸ ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ ÐÐ ÔÐÙ×
ÔÔÖØØÒÒÒØØ ×Ø ÐÐ ÔÔÔ×× ÐÐ ×ØÖÙÙØÙÖÖ¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ×ÓÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÙÙ ×Ø
×××ÖÚÚÚ ´ÚÓÓÖ ÐÐ ÔÓÖØÖÖÖØ ×ÔÔØØÓ¹ØØÑÔÓÖÖи ØØØ Ò×ØØØØÐÐØØ Ø ÐÐ ÓÒÒÒ¹
ÙÖÖØØÓÒ Ù ÑÓÓÙÐÐ |A| г³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÔÔÖÑÑÒÒÒظ ÙÖÖ
½¾ººµ ÓÒ ÔÔÙØ ÐÓÖ× ÑÓÒØÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÐÐ ÔÔÔ×× θ ×Ø ÖÖØØ
ÔÔÖ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÐÐÐÖÖ¸ ÐÐÐ ÃÙÖÖÑÓØÓ¹ËËÚ×××Ò××Ý ´ÚÓÓÖ ÔÖÓÓÐÐÑÑ
½¾ººº½µ º
ij³ÕÙÙØØÓÒ ÃÙÖÖÑÓØÓ¹ËËÚÚ×××Ò××Ý ×Ø ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚÚÒØØ θt+∇ 4 θ+∇ 2 θ+|∇θ| 2 /2 =
0¸ Ó ∇ 4 ×Ø Ð³ÓÔÔÖÖØØÙÖ ¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ¸ ∇ 2 ×Ø Ð³ÓÔÔÖÖØØÙÖ ÐÐÔÐÐÐÐÐÒ Ø ∇ ×Ø Ð³ÓÔÔÖÖØØÙÖ ÖÖ¹
Òغ ij³ÕÙÙØØÓÒ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ ÃÙÖÖÑÓØÓ¹ËËÚ×××Ò××Ý ÙØ ÔÔÖ ÐÐ ÔÔÝ×××××Ò
Ó××××× ÃÙÖÖÑÓØÓ Ð³ÙÒÒÚÚÖ××ØØ ÃÝÓØÓ ÐÓÖ× Ð³³ØÙÙÙ ÐÐ ØÙÖÖÙÐÐÒÒÒ ÔÔÔ××
Ò× ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÖÖÖÖØØÓÒ¹¹¹¹Ù××ÓÒ ´ÖÖÖÖØØÓÒ ØØ ÐÓÙ×ÓÚ¹¹¹¹¹ÓØØÒ××ݸ Ú ÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ
¾¾ ÐÐ ÔÔÝ×××××Ò ×ÖÖÖÐÐÐÒ ÖÖÖÓÖÝ ËËÚÚ×××Ò××Ý ÐÐ Ò× ÐÐ ÓÒØØÜØØ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÙÖÖ ½¾º¿ ÈÓÖØÖÖÖØ ×ÔÔØØÓ¹ØØÑÔÓÖÖÐ Ò× ÐÐ × ³ÙÒÒ ØÙÖÖÙÐÐÒÒÒ ÒÒØØØØ ÔÔÖ ÐÐ×
ÙØ׺ ÄÄ ÙÖÖ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ |A|¸ Ø ÐÐÐ ÖÓÓØØ |A| Ò ÓÒÒØØÓÒ x
Ò× ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÔÔÖÑÑÒÒÒغ α = 2¸ β = −2º
ÖÓÒØØØÖÖ¸ г³ÜÜ×ØØÒÒÒ ³ÓÒÒÒ× ÔÐÐÒÒ× ×Ø ÔÓ××××Ðи ÑÑÑ× ÐÐÐ× ÓÓÜÜ×ØØÒØ Ø Ú ×
×ÓÐÙØØÓÒ× ÔÐÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ׸ ØØ× ×ØÖÙÙØÙÖÖ× ÒÒÒ× ¹¹ÔÖÖ× ´ÚÓÓÖ ÐÐ
×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ ½¾ººººµº Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÓÒ α > −1/β¸ ÙÜ ØÝÔÔ× ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ×ÓÒØ
ÔÓ××××ÐÐ× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¾º¾µº
´´µ ÄÄ ØÙÖÖÙÐÐÒÒÒ ÔÖ ÐÐ× ÙØ× Ò× ×¸ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø
ØØÐÐÐ ÕÙÙ ÐÐ ÑÓÓÙÐÐ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ×Ø ÒÙÐ ´´ºº |A| = 0µ ÐÐ ÐÓÒÒ Ð³³ÜÜ
Ox¸ ¸ Ò Ò × Ô Ó Ò Ø× ÒÓÑÑÑ× ÙØ× ÐÐ ÔÔÔ×× ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ÓÒÒ
ÖÖÖØÖÖÖÖÖ Ò × ÔÓÓÒØ׺ Ò×׸ Ò ØÖÖÚÖ××ÒØ × ÔÓÓÒØ׸ ÐÐ ÔÔÔ×× ÔÔÙØ
ÚÚÖÖÖÖ ÔÔÖ ÙÒ ÑÙÐØØÔÐÐ 2π/L ÓÓ L ×Ø ÐÐ ØØØÐÐÐ ÐÐØØÖÖÐÐ Ù ×Ý×ØØÑÑ ´ÚÓÓÖ
ÐÐ ÔÓÖØÖÖÖØ ×ÔÔØØÓ¹ØØÑÔÓÖÖÐ ØØØ Ò×ØØØØÐÐØØ Ø ÐÐ ÓÒÒÒÙÖÖØØÓÒ |A|
Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÔÔÖÑÑÒÒÒظ ÙÖÖ ½¾º¿µº
´´´µ ÄÄ ØÙÖÖÙÐÐÒÒ Ô × º Ò× ×¸ ÐÐ ÑÓÓÙÐÐ |A| г³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÒ
׳³ÔÔÖÓÓÓÓ ÔÔ× ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÞÞÖÓ Ø ÐÐ ÔÔÔ×× ØÓØØÐÐ ×Ø ØÝÔÔ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÐÐÐÙ ÔÖÖ× ÐÐ ÖÓÒØØØÖÖ ÒÒÒÑÑÒ¹¹Ö г³Ò×ØØØØÐÐØØ
Ù ÑÑÑÑ ÒÓÑ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¾º¾µº Ò× ÚÓÓ××ÒÒÒÒ¸ ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ ÐÐ ÔÐÙ×
ÔÔÖØØÒÒÒØØ ×Ø ÐÐ ÔÔÔ×× ÐÐ ×ØÖÙÙØÙÖÖ¸ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ×ÓÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÙÙ ×Ø
×××ÖÚÚÚ ´ÚÓÓÖ ÐÐ ÔÓÖØÖÖÖØ ×ÔÔØØÓ¹ØØÑÔÓÖÖи ØØØ Ò×ØØØØÐÐØØ Ø ÐÐ ÓÒÒÒ¹
ÙÖÖØØÓÒ Ù ÑÓÓÙÐÐ |A| г³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ò× ÐÐ ÖÖÖÖÑÑ ÔÔÖÑÑÒÒÒظ ÙÖÖ
½¾ººµ ÓÒ ÔÔÙØ ÐÓÖ× ÑÓÒØÖÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÐÐ ÔÔÔ×× θ ×Ø ÖÖØØ
ÔÔÖ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ ÐÐÐÖÖ¸ ÐÐÐ ÃÙÖÖÑÓØÓ¹ËËÚ×××Ò××Ý ´ÚÓÓÖ ÔÖÓÓÐÐÑÑ
½¾ººº½µ º
ij³ÕÙÙØØÓÒ ÃÙÖÖÑÓØÓ¹ËËÚÚ×××Ò××Ý ×Ø ÐÐ ÓÖÑÑ ×ÙÙÚÚÒØØ θt+∇ 4 θ+∇ 2 θ+|∇θ| 2 /2 =
0¸ Ó ∇ 4 ×Ø Ð³ÓÔÔÖÖØØÙÖ ¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ¸ ∇ 2 ×Ø Ð³ÓÔÔÖÖØØÙÖ ÐÐÔÐÐÐÐÐÒ Ø ∇ ×Ø Ð³ÓÔÔÖÖØØÙÖ ÖÖ¹
Òغ ij³ÕÙÙØØÓÒ ÙÒÒÒÒÑÑÒ××ÓÒÒÒÐÐÐ ÃÙÖÖÑÓØÓ¹ËËÚ×××Ò××Ý ÙØ ÔÔÖ ÐÐ ÔÔÝ×××××Ò
Ó××××× ÃÙÖÖÑÓØÓ Ð³ÙÒÒÚÚÖ××ØØ ÃÝÓØÓ ÐÓÖ× Ð³³ØÙÙÙ ÐÐ ØÙÖÖÙÐÐÒÒÒ ÔÔÔ××
Ò× ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÖÖÖÖØØÓÒ¹¹¹¹Ù××ÓÒ ´ÖÖÖÖØØÓÒ ØØ ÐÓÙ×ÓÚ¹¹¹¹¹ÓØØÒ××ݸ Ú ÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ
¾¾ ÐÐ ÔÔÝ×××××Ò ×ÖÖÖÐÐÐÒ ÖÖÖÓÖÝ ËËÚÚ×××Ò××Ý ÐÐ Ò× ÐÐ ÓÒØØÜØØ