½½º ÖÓÒØ× ÒØÖÖ ÓÑÑÑÒÒ×
¾¾¾
Ù×ØØØØØ× ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ×ÙÖ¹¹ÖÖØØÕÙÙ ´´´´ÙÖÖÖØØÓÒ Ö Ð³³Ñ¹
ÔÐÐØÙÙÙ ÖÓÓØ ÐÓÖ× ÑÑÒÒÒÖÖ ÓÒØØÒÙÙ ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÙÐÐÐ ´´ººº
A = 0µ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÓÒ ÒÙÐÐÐ ´´ººº A = 0µº ÄÄ ÚÚØØ××× Ù ÖÓÒØ
×Ø ÓÒÒ ØØÖÑÑÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙ٠г³ÚÚÐ Ù ÖÓÒظ ÐÐ ÖÓÒØ ×Ø ÐÓÖ× Ø
ØØÖÖ ´×ÓÙ×¹¹ÒØØÒÒÙ ÔÔÖ ÕÙÙ ×× ÔÔ××× Ò ÚÒØ Ø Ù Ù Ö Ó Ò Øµº ËË ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ
×Ø ×ÓÙ×¹¹ÖÖØØÕÙÙ¸ ÐÐ ××ØÙÙØØÓÒ ×³³ÚÖÖ ÔÐÙ× ÓÑÔÐÐÜܸ Ò ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ
ÚÚØØ××× ³³ÒÚ××ÓÒ ÔÔÒÒ ÑÑÑÑÒÒ×ÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ׺ Ò× ×¸ ÐÐ ÚÚØØ×××
×Ø ØØÖÑÑÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙ٠г³ÑÓÒØ Ø Ù ÖÓÒØ ´Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
Ý ×Ø ÔÐÙ× ÖÖÒÒÒ ÐÐ ÔÖÖÖÓÑÑÒÒÒÒÒ ØØØ ÖÖÖÖÓÒ ×Ø ³³ÙØØÒØ ÔÐÙ× ÖÖÒÒÒ
ÕÙÙ ÐÐ× Ø× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ×ÓÒØ ÑÔÓÖØØÒØ×µº ÄÄ ÖÓÒØ ×Ø ÐÓÖ× Ø ÔÓÙ×××
´×ÓÙ×¹¹ÒØØÒÒÙ ÔÔÖ ÕÙÙ ×× ÔÔ××× Ð³³ÖÖÖÖÖÖ Ù ÖÓÒصº ÈÓÙÖ ÔÓÙÖ×ÙÙÚÖÖ Ò ÔÖÓ¹
ÓÒÒÒÙÖ¸ ÒÓÙ× ÒÚÚØÓÒ× ÐÐ ÐÐÐØØÙÖ ÓÒ×ÙÐØØÖ ÙÒÒ ÖÖÚÙÙ ÔÐÙ× ÓÑÔÐÐØØ Ù ×ÙÙÙØ
´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ µº
½½ºº ÈÖÓÓÐÐÑÑ×
½½ººº½ ÈÖÓÓÐÐÑÑ ØØÖÑÑÒÒØØÓÒ ÜÔÐÐÐÐØØ ÐÐ ÚÚØØ×××
³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÑÑØØ×ØØØÐÐ
ÔÔÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐÐ
ÓÒ××××ÖÓÒ× ÐÐ ××ØÙÙØØÓÒ ÓÓ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÔÓ××××× ÙÒ ×¸ ×ÓÓØ ØØØÖÖ ³³ÜÜÑÔÐи
ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ØÙÙÙÙ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ ÙÒ ØØÖÑÑ ØØÓÒÒÒÐ ν
A
3
3
ν ÔÓ××ØØØ
Ø ×ÙÙ××ÑÑÑÒØ ÔÔØØØ ´´ººº ν > 0 Ø ν 1µ ÐÐ ÔÓØØÒØØØР׳³³ÖÖØ ÓÒÒ ÓÑÑÑ
V = −
A
2
2
+
A
4
4
+ ν
A
3
3
´½½º¾¿µ
ÈÓÙÖ ν = 0¸ Ð Ý × ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØÐÐ× A = ±1¸ Ó Ò Ó Ù × × ÚÓÒ× ÔÓ××
= 1 ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ØÙÙÙÙ ÙÔÔÖÖÚÚÒØ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º¾µ¸ Ø ÐÐ ÚÚØØ××× ³³ÒÚ¹
××ÓÒ v ×Ø ÒÙÐÐк ÍÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÒÓÒ ÒÙÐÐÐ ν ÖÖÖ ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ Ù ÔÓØØÒØØØи г³ÑÑÑÑ
Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÔÓÖØØ ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ½½ºº ØØØ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÒÒÙÙØ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒÒ ÚÚØØ×××
³³ÒÚÚ××ÓÒ ÒÓÒ ÒÙÐÐи ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½ººµ Ò³³×Ø ÓÒÒ ÔÐÙ× ÚÚÐÐÐÐк
ÔÔÒÒÒÒظ ×× ν ×Ø ×ÙÙ××ÑÑÑÒØ ÔÔØØظ ÐÐ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒ ÚÖÖÖØ ÔÔ× ØÖÓÔ ×³³Ò
ÐÓÓÓÒÒÖ ÐÐÐ ÚÖÖÖØ ÓÒÒ ØÖÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½ººµ Ø
³ÙÒ ØØÖÑÑ ÔÔÖØÙÖÖÖØØØ ν ˜
A(x)¸ ¸ Ú ˜
A ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ´´ºº A(x) = A0(x)+ν ˜
A(x)µº
×× ÓÒÒÖÑÑ ÔÔÖ ÐÐÐÙÖ׸ Ò ÒÓØØÒØ ÕÙÙ ÐÐ ÒÙÑÑÖÖØØÙÖ ÐÐ ÚÚØØ××× ³³ÒÚ××ÓÒ ´´ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ½½º½¼µ ׳³ÒÒÙÐÐ ÔÓÙÖ ν = 0 ´ÐÐ ÖÖ××ÖÚÚ ³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ×Ø ÒÙÐÐÐ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ×
ÚÚÐÐÙÖ× × ÙÜ ×ÓÒØ Ùܵ ÕÙÙ ×ÙÙÙÙÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ ØØÖÑÑ Ù
ÔÓØØÒØØØÐ ÓÓØ ØÖÖ Ð³ÓÖÖÖÖ ½ ½Ò νº ü гÓÖÖÖÖ ÐÐ ÔÐÙ× ×¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÓÒÒ ÖÖѹ
ÔÐÐÐÐÖ Ò× ÐÐ ÒÓÑÑÒÒØØÙÖ ÐÐ ÚÚØØ××× ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º½¼µ¸ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ A
ÔÔÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ A0º ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØ ÖÖÖÖÖÖÖÖ ÐÐ ÚÚØØ×××
´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º½¼µ ÓÑÑÑ
v
V (A2) − V (A1)
R ∞
−∞
A
2
0x dx
2ν/3
R ∞
−∞
A
2
0x dx
=
ν
√ 2
,
´½½º¾¾µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÒ× Ø Ð³³ÔÔÖÓÜÜÑÑØØÓÒ Ù ÒÙÑÑÖÖØØÙÖ ÕÙÙ V (A2) V (A20) = V (1) =
ν/3¸ ¸ Ø V (A1) V (A01) = V (−1) = −ν/3º ÓÑÑÑ [∂V /A]A=A 02 = [∂V /A]A=A 01 =
0¸ ØØØ ×Ø ÚÚÐÐÐÐРгÓÖÖÖÖ ν
2
º
¾¾¾
Ù×ØØØØØ× ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø ×ÙÖ¹¹ÖÖØØÕÙÙ ´´´´ÙÖÖÖØØÓÒ Ö Ð³³Ñ¹
ÔÐÐØÙÙÙ ÖÓÓØ ÐÓÖ× ÑÑÒÒÒÖÖ ÓÒØØÒÙÙ ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÙÐÐÐ ´´ººº
A = 0µ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÓÒ ÒÙÐÐÐ ´´ººº A = 0µº ÄÄ ÚÚØØ××× Ù ÖÓÒØ
×Ø ÓÒÒ ØØÖÑÑÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙ٠г³ÚÚÐ Ù ÖÓÒظ ÐÐ ÖÓÒØ ×Ø ÐÓÖ× Ø
ØØÖÖ ´×ÓÙ×¹¹ÒØØÒÒÙ ÔÔÖ ÕÙÙ ×× ÔÔ××× Ò ÚÒØ Ø Ù Ù Ö Ó Ò Øµº ËË ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ
×Ø ×ÓÙ×¹¹ÖÖØØÕÙÙ¸ ÐÐ ××ØÙÙØØÓÒ ×³³ÚÖÖ ÔÐÙ× ÓÑÔÐÐÜܸ Ò ÔÔÖØØØÙÐÐÐÖ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ
ÚÚØØ××× ³³ÒÚ××ÓÒ ÔÔÒÒ ÑÑÑÑÒÒ×ÑÑ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ׺ Ò× ×¸ ÐÐ ÚÚØØ×××
×Ø ØØÖÑÑÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙ٠г³ÑÓÒØ Ø Ù ÖÓÒØ ´Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ
Ý ×Ø ÔÐÙ× ÖÖÒÒÒ ÐÐ ÔÖÖÖÓÑÑÒÒÒÒÒ ØØØ ÖÖÖÖÓÒ ×Ø ³³ÙØØÒØ ÔÐÙ× ÖÖÒÒÒ
ÕÙÙ ÐÐ× Ø× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ×ÓÒØ ÑÔÓÖØØÒØ×µº ÄÄ ÖÓÒØ ×Ø ÐÓÖ× Ø ÔÓÙ×××
´×ÓÙ×¹¹ÒØØÒÒÙ ÔÔÖ ÕÙÙ ×× ÔÔ××× Ð³³ÖÖÖÖÖÖ Ù ÖÓÒصº ÈÓÙÖ ÔÓÙÖ×ÙÙÚÖÖ Ò ÔÖÓ¹
ÓÒÒÒÙÖ¸ ÒÓÙ× ÒÚÚØÓÒ× ÐÐ ÐÐÐØØÙÖ ÓÒ×ÙÐØØÖ ÙÒÒ ÖÖÚÙÙ ÔÐÙ× ÓÑÔÐÐØØ Ù ×ÙÙÙØ
´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ µº
½½ºº ÈÖÓÓÐÐÑÑ×
½½ººº½ ÈÖÓÓÐÐÑÑ ØØÖÑÑÒÒØØÓÒ ÜÔÐÐÐÐØØ ÐÐ ÚÚØØ×××
³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÑÑØØ×ØØØÐÐ
ÔÔÖ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐÐ
ÓÒ××××ÖÓÒ× ÐÐ ××ØÙÙØØÓÒ ÓÓ ÐÐ ÔÓØØÒØØØÐ ÔÓ××××× ÙÒ ×¸ ×ÓÓØ ØØØÖÖ ³³ÜÜÑÔÐи
ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ØÙÙÙÙ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒØ ÙÒ ØØÖÑÑ ØØÓÒÒÒÐ ν
A
3
3
ν ÔÓ××ØØØ
Ø ×ÙÙ××ÑÑÑÒØ ÔÔØØØ ´´ººº ν > 0 Ø ν 1µ ÐÐ ÔÓØØÒØØØР׳³³ÖÖØ ÓÒÒ ÓÑÑÑ
V = −
A
2
2
+
A
4
4
+ ν
A
3
3
´½½º¾¿µ
ÈÓÙÖ ν = 0¸ Ð Ý × ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ×ØØØÐÐ× A = ±1¸ Ó Ò Ó Ù × × ÚÓÒ× ÔÓ××
= 1 ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ Ù ÔÓØØÒØØØÐ ØÙÙÙÙ ÙÔÔÖÖÚÚÒØ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º¾µ¸ Ø ÐÐ ÚÚØØ××× ³³ÒÚ¹
××ÓÒ v ×Ø ÒÙÐÐк ÍÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÒÓÒ ÒÙÐÐÐ ν ÖÖÖ ÙÒÒ ×ÝÑÑØÖÖÖ Ù ÔÓØØÒØØØи г³ÑÑÑÑ
Ù ÔÓØØÒØØØÐ ÔÓÖØØ ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ½½ºº ØØØ ×ÝÑÑØÖÖÖ ÒÒÙÙØ ÐÐ ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒÒ ÚÚØØ×××
³³ÒÚÚ××ÓÒ ÒÓÒ ÒÙÐÐи ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½ººµ Ò³³×Ø ÓÒÒ ÔÐÙ× ÚÚÐÐÐÐк
ÔÔÒÒÒÒظ ×× ν ×Ø ×ÙÙ××ÑÑÑÒØ ÔÔØØظ ÐÐ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒ ÚÖÖÖØ ÔÔ× ØÖÓÔ ×³³Ò
ÐÓÓÓÒÒÖ ÐÐÐ ÚÖÖÖØ ÓÒÒ ØÖÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½ººµ Ø
³ÙÒ ØØÖÑÑ ÔÔÖØÙÖÖÖØØØ ν ˜
A(x)¸ ¸ Ú ˜
A ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ´´ºº A(x) = A0(x)+ν ˜
A(x)µº
×× ÓÒÒÖÑÑ ÔÔÖ ÐÐÐÙÖ׸ Ò ÒÓØØÒØ ÕÙÙ ÐÐ ÒÙÑÑÖÖØØÙÖ ÐÐ ÚÚØØ××× ³³ÒÚ××ÓÒ ´´ÕÙÙ¹
ØØÓÒ ½½º½¼µ ׳³ÒÒÙÐÐ ÔÓÙÖ ν = 0 ´ÐÐ ÖÖ××ÖÚÚ ³³ÒÒÖÖÖÖ ÔÓØØÒØØØÐÐÐ ×Ø ÒÙÐÐÐ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ×
ÚÚÐÐÙÖ× × ÙÜ ×ÓÒØ Ùܵ ÕÙÙ ×ÙÙÙÙÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ ØØÖÑÑ Ù
ÔÓØØÒØØØÐ ÓÓØ ØÖÖ Ð³ÓÖÖÖÖ ½ ½Ò νº ü гÓÖÖÖÖ ÐÐ ÔÐÙ× ×¸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÓÒÒ ÖÖѹ
ÔÐÐÐÐÖ Ò× ÐÐ ÒÓÑÑÒÒØØÙÖ ÐÐ ÚÚØØ××× ´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º½¼µ¸ г³ÑÔÐÐØÙÙÙ A
ÔÔÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ A0º ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑØ ÖÖÖÖÖÖÖÖ ÐÐ ÚÚØØ×××
´´ÕÙÙØØÓÒ ½½º½¼µ ÓÑÑÑ
v
V (A2) − V (A1)
R ∞
−∞
A
2
0x dx
2ν/3
R ∞
−∞
A
2
0x dx
=
ν
√ 2
,
´½½º¾¾µ
ÓÓ ÒÓÙ× ÚÓÒ× Ø Ð³³ÔÔÖÓÜÜÑÑØØÓÒ Ù ÒÙÑÑÖÖØØÙÖ ÕÙÙ V (A2) V (A20) = V (1) =
ν/3¸ ¸ Ø V (A1) V (A01) = V (−1) = −ν/3º ÓÑÑÑ [∂V /A]A=A 02 = [∂V /A]A=A 01 =
0¸ ØØØ ×Ø ÚÚÐÐÐÐРгÓÖÖÖÖ ν
2
º