½½º ÖÓÒØ× ÒØÖÖ ÓÑÑÑÒÒ×
¾¾¿
ÙÖÖ ½½ºº Ò ØÖÖÖØ× ÓÒØØÒÙ× ÐÐ ³³×Ø ÐÙÙ ÕÙÙ ÚÚ ÐÐ ÑÓÓÒ× ÚÚØغ Ò
ÔÓÓÒØØÐÐÐ׸ ÐÐ ÐÐ ÔÐÙ× ÖÖÔÔÔÔ¸ ÑÑÑ× Ð ÒÒ ÔÔÙØ ×ÙÖÚÚÚÖÖ¸ Ö ÐÐ ÔÓÓÒØ ³³ÒØØÖ¹
×××ØØÓÒ ÖÖÑÓÒØØ ÚÖ× ÐÐ Ùظ Ø ÐÐ ÐÐ ÔÐÙ× ÐÐÒØ ØØÖÑÑÒÒ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
³³ÒÚÚ××ÓÒº
ÔÐÙ× ÖÖÒÒ ÕÙÙ ÐÙÙ ÕÙÙ ×Ø ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ´Bµ ´´ººº ÐÐ ÖÓÒØ ´ Bµ ×Ø ÔÐÙ×
ØØÐÐ ÕÙÙ ÐÐ ´Aµµ ÔÔÖ ÐÐÐÙÖ׸ ÐÐ ÚÚØØ××× Ù ÖÓÒØ ´´µ ×Ø ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ
ÐÐÐ Ù ´Aµ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½ºº Ø ÐÐ× × ÔÓÖØØØ× Ò× ÐÐ ÙÖÖ ½½ººµº
Ò ØÖÖÖÖÒØ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ × ×ÙÙÙÙ×××ÚÚÑÑÒØ Ò× ÐÐ ØØÑÔ׸ ÒÓÙ×
ÓÒ×ØØØÓÒ× ÕÙ٠г³ÒØØÖ×××ØØÓÒ × ÙÜ ÖÖÑÓÒØØ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ´ÚÓÓÖ
ÙÖÖ ½½ººµ Ú Ö × Ð Ù Ø Ø Ø Ð ÖÓÒØ ´ Aµ ØØÖÑÑÒÒ ÐÐ ÚÚØØ××× ÐÓÓÓÐÐ ×
³³×Ø ÓÒÒ ÐÐ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ ÐÐ ÔÐÙ× ÐÐÒØ ÕÙÙ ÐÐÑÑØØ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙº ËË ÓÒ Ø
×ØÖÖÖØØÓÒ ÐÐ ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ø v < v
∗
×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ½½ºº¸ ÓÒ ÔÔÙØ
ÓÒÒÐÙÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÖÖÙÖ××ÙÖ ÐÐ ÔÐÙ× ÔÔØØØØ ÚÐÐÙÖ q¸ ¸ × ÚÓÓÖ
q
∗
º Ê × Ø × ÚÓÓÖ ÔÓÙÖÕÙÓÓ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÒÒ ××ÐÐÐØØÓÒÒÒ ÔÔ× ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ v < v
∗
´´ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ø q ÓÑÔÐÐÜܵº ³³×Ø ØØØ ÕÙÙ×ØØÓÒ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× ÖÖÔÓÒÒÖÖ
Ò× ÐÐ ÔÖÓÓÓÓÓÒÒ ×××ØØÓÒº
Ù ÔÖÖÖÐÐÐÐÐ ÒÓÙ× ×ÓÙÙÙÙØÓÒ× ÖÖ ÙÒÒ ÔÔØØØØ ÖÖ×××ÓÒ Ù ×ÙÙÙØ ÐÐ ÔÖÖ¹
ÓÑÑÒÒÒÒÒ × ÐÐ× ÔÐÙ× ÐÐÒØ׺ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ×Ø ××ÑÑÐÐÐÖÖ ÐÙÙ ÐÐ
ÖÓÓ×××ÒÒÒ ³ÙÒ ÖÖ×ØØÐ ØØظ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐ ××ÙÐÐ ÐÐ ØØØ ÐÐ ÔÐÙ× ÐÐÒØØ ×ÙÖÚÚØ
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½ººµº ÄÄ ØØØ ÐÐ ÔÐÙ× ÖÖÔÔÔÔ ×ÔÔÖÖÖØ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ÐÐ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ø ÐÐ ÓÖÑÑ Ù ÖÖ×ØØÐ ×ÓÒØ ÓÒÒ ØØÖÑÑÒÒÒ× ÔÔÖ ÐÐ× ØØØ× ÐÐ× ÔÐÙ×
ÐÐÒØØ׺ ÆÓÙ× ÓÒÒ ÐÐ ÓÒÒÐÙ××ÓÒ ÕÙÙ ÐÐ ÖÓÒØ ÓÓØ ÓÓ××Ö ÐÐ ÚÚØØ×××
ÐÐ ÔÐÙ× ÐÐ ÔÓ××××ÐÐ Ø ×ÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙÙ ØØØ ÚÚØØ××× ×Ø ÐÐÐ ÕÙÙ ×Ø
Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÖÖØØÕÙÙ v
∗
º ÊÊ×ØØ ××ÚÓÓÖ ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÔÓÙÖÕÙÓÓ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÚÚØØ××× ÔÐÙ× ÐÐ ÕÙÙ v
∗
ÒÒ ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖÖÐÐ××׺ ÈÓÙÖ Ðи ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× ÔÖÖ××ÒØØÖ
ÙÒ ÒÒÖÖÐ ×ØØØØÐÐØغ
½½º¿º½ ÁÒ×ØØØØÐÐØØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ v < v
∗
ÊÊÔÖÖÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ½½º½½¸ Ø ÒÓØÓÒ× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ
ÚÚØØ××× ÓÒ×ØØÒØØ A 0 (x − vt)º ÖÖÓÒ× Ò×ÙÙØØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ÓÖÑÑ
A(x, t) = A 0 (x − vt) + η(x, t) Ò ÐÐÒÒÒÖÖ××ÒØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½½º½½ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ η
ÔÓÙÖ ÔÖÓÓÓÓÓÖ ÙÒÒ ØÙÙÙ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÓÒÒ ××ÙÐ× ÐÐ× ØØÖÑÑ× ³ÓÖÖÖÖ 1
¾¾¿
ÙÖÖ ½½ºº Ò ØÖÖÖØ× ÓÒØØÒÙ× ÐÐ ³³×Ø ÐÙÙ ÕÙÙ ÚÚ ÐÐ ÑÓÓÒ× ÚÚØغ Ò
ÔÓÓÒØØÐÐÐ׸ ÐÐ ÐÐ ÔÐÙ× ÖÖÔÔÔÔ¸ ÑÑÑ× Ð ÒÒ ÔÔÙØ ×ÙÖÚÚÚÖÖ¸ Ö ÐÐ ÔÓÓÒØ ³³ÒØØÖ¹
×××ØØÓÒ ÖÖÑÓÒØØ ÚÖ× ÐÐ Ùظ Ø ÐÐ ÐÐ ÔÐÙ× ÐÐÒØ ØØÖÑÑÒÒ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ
³³ÒÚÚ××ÓÒº
ÔÐÙ× ÖÖÒÒ ÕÙÙ ÐÙÙ ÕÙÙ ×Ø ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ´Bµ ´´ººº ÐÐ ÖÓÒØ ´ Bµ ×Ø ÔÐÙ×
ØØÐÐ ÕÙÙ ÐÐ ´Aµµ ÔÔÖ ÐÐÐÙÖ׸ ÐÐ ÚÚØØ××× Ù ÖÓÒØ ´´µ ×Ø ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ
ÐÐÐ Ù ´Aµ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½ºº Ø ÐÐ× × ÔÓÖØØØ× Ò× ÐÐ ÙÖÖ ½½ººµº
Ò ØÖÖÖÖÒØ ÐÐ ÔÓ××ØØÓÒ × ×ÙÙÙÙ×××ÚÚÑÑÒØ Ò× ÐÐ ØØÑÔ׸ ÒÓÙ×
ÓÒ×ØØØÓÒ× ÕÙ٠г³ÒØØÖ×××ØØÓÒ × ÙÜ ÖÖÑÓÒØØ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ´ÚÓÓÖ
ÙÖÖ ½½ººµ Ú Ö × Ð Ù Ø Ø Ø Ð ÖÓÒØ ´ Aµ ØØÖÑÑÒÒ ÐÐ ÚÚØØ××× ÐÓÓÓÐÐ ×
³³×Ø ÓÒÒ ÐÐ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ ÐÐ ÔÐÙ× ÐÐÒØ ÕÙÙ ÐÐÑÑØØ ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙº ËË ÓÒ Ø
×ØÖÖÖØØÓÒ ÐÐ ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ø v < v
∗
×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ½½ºº¸ ÓÒ ÔÔÙØ
ÓÒÒÐÙÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÔÖÖÖÙÖ××ÙÖ ÐÐ ÔÐÙ× ÔÔØØØØ ÚÐÐÙÖ q¸ ¸ × ÚÓÓÖ
q
∗
º Ê × Ø × ÚÓÓÖ ÔÓÙÖÕÙÓÓ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÒÒ ××ÐÐÐØØÓÒÒÒ ÔÔ× ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ v < v
∗
´´ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒÒÒØ Ø q ÓÑÔÐÐÜܵº ³³×Ø ØØØ ÕÙÙ×ØØÓÒ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× ÖÖÔÓÒÒÖÖ
Ò× ÐÐ ÔÖÓÓÓÓÓÒÒ ×××ØØÓÒº
Ù ÔÖÖÖÐÐÐÐÐ ÒÓÙ× ×ÓÙÙÙÙØÓÒ× ÖÖ ÙÒÒ ÔÔØØØØ ÖÖ×××ÓÒ Ù ×ÙÙÙØ ÐÐ ÔÖÖ¹
ÓÑÑÒÒÒÒÒ × ÐÐ× ÔÐÙ× ÐÐÒØ׺ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ×Ø ××ÑÑÐÐÐÖÖ ÐÙÙ ÐÐ
ÖÓÓ×××ÒÒÒ ³ÙÒ ÖÖ×ØØÐ ØØظ ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐ ××ÙÐÐ ÐÐ ØØØ ÐÐ ÔÐÙ× ÐÐÒØØ ×ÙÖÚÚØ
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½ººµº ÄÄ ØØØ ÐÐ ÔÐÙ× ÖÖÔÔÔÔ ×ÔÔÖÖÖØ Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ÐÐ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ Ø ÐÐ ÓÖÑÑ Ù ÖÖ×ØØÐ ×ÓÒØ ÓÒÒ ØØÖÑÑÒÒÒ× ÔÔÖ ÐÐ× ØØØ× ÐÐ× ÔÐÙ×
ÐÐÒØØ׺ ÆÓÙ× ÓÒÒ ÐÐ ÓÒÒÐÙ××ÓÒ ÕÙÙ ÐÐ ÖÓÒØ ÓÓØ ÓÓ××Ö ÐÐ ÚÚØØ×××
ÐÐ ÔÐÙ× ÐÐ ÔÓ××××ÐÐ Ø ×ÙÔÔÓ×ÓÒ× ÕÙÙ ØØØ ÚÚØØ××× ×Ø ÐÐÐ ÕÙÙ ×Ø
Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÖÖØØÕÙÙ v
∗
º ÊÊ×ØØ ××ÚÓÓÖ ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÔÓÙÖÕÙÓÓ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
ÚÚØØ××× ÔÐÙ× ÐÐ ÕÙÙ v
∗
ÒÒ ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖÖÐÐ××׺ ÈÓÙÖ Ðи ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× ÔÖÖ××ÒØØÖ
ÙÒ ÒÒÖÖÐ ×ØØØØÐÐØغ
½½º¿º½ ÁÒ×ØØØØÐÐØØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ v < v
∗
ÊÊÔÖÖÒÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ½½º½½¸ Ø ÒÓØÓÒ× ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ
ÚÚØØ××× ÓÒ×ØØÒØØ A 0 (x − vt)º ÖÖÓÒ× Ò×ÙÙØØ ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ÓÖÑÑ
A(x, t) = A 0 (x − vt) + η(x, t) Ò ÐÐÒÒÒÖÖ××ÒØ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½½º½½ ÔÔÖ ÖÖÔÔÓÖØ η
ÔÓÙÖ ÔÖÓÓÓÓÓÖ ÙÒÒ ØÙÙÙ ×ØØØØÐÐØØ ÐÐÒÒÒÒÖÖ ÓÒÒ ××ÙÐ× ÐÐ× ØØÖÑÑ× ³ÓÖÖÖÖ 1