¾¾¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÙÖÖ ½½º½ ÇÒ ÖÖÖ ÙÒÒ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ÐÓÓÓÐÐ××× Ø ÓÒ ÓÓ××Ø > 0 ØØÐÐÐ
×ÓÖØØ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A = 0 ×Ø Ò×ØØØÐк ÄÄ Ø ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A = 0 ×ÓÓØ Ò×Øع
ÐÐ Ø ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÐÓÓÓÐÐ××× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÙÒÒ ÖØØØÒÒ ÚÚØØ××× v
ØØÖÑÑÒÒÖ ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØØ ¸ Ø ÐÐÐ××× ÖÖÖÖÖÖ ÐÐÐ ÙÒÒ ×ØÖÙÙØÙÖÖ ÙÒÒ ÑÔÐй
ØÙÙÙ ÕÙÙ×× ÐÐ
√ ´ØÖÖÖØ Ò ÔÓÓÒØØÐÐÐ× ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ Ù ×µº ÇÒ ÑÓÒØÖÖ
×ÙÖ ØØØ ÙÖÖ ××××ÑÑØØÕÙÙÑÑÒØ ÐÐ ×ØÖÙÙØÙÖÖ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ×ÓÙ×¹¹¹¹¹ÒØØ ÕÙÙ
Ò³³×Ø ÔÔ× Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½½º½¸ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÖÖØ Ù×ØØ Ð³³ÒÚ ÄÄ ÑÔ
ØÓØØÐ ×× Ù ÔÖÓÓÙÙØ Ð³³ÒÚÚÐÓÔÔÔ A ÔÔÖ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ Ó×××ÐÐÐÒØØ e
iqx
´ÚÓÓÖ
½¼µº
ÕÙÙØØÓÒ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾¾ Ù ÔÖÖÖÖÖÖÒص
A t = A − |A|
2 A + A xx .
´½½º½µ
ÁÐ ×Ø ÐÐÐÖ ÕÙÙ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÑÑØ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ÓÑÓÓÓÒÒ× Ø ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ×
×ÙÙÚÒØØ× A = 0 Ø A = ±
√
º ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ A = 0 ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
××Ò× ÑÓØØØ ×ÔÔØØØи ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× A = ±
√
×× ÖÖÖÖÖÖÒØ × ×ÓÐÙØØÓÒ×
ÓÖÖÓÒÒÒÒ× Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A ÖÖÔÖÖ××ÒØØ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÖÖÓÒÒÒÒº ÆÓÙ×
Ò ÓÙØÖÖ¸ ÚÙ ÕÙ٠гÓÖÖÖÖ ÐÐÐÙ ×× ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÔÓ××ØØØ ´´ººº > 0¸
ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¼º¾ Ò× ÐÐ ÔÖÖÖÖÖÖÒصº ÄÄ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
= 0 Ù ××ÙÙÐ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ Ð³³ØØØ ÓÑÓÓÓÒÒ ´××Ò× ÑÓØØص ÚÖ×
г³ØØØ ÓÖÖÓÒÒÒº ÈÐÐÐÓÒ×¹ÒÓÙ× Ò× × ÓÒÒÒØØÓÒ× ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ³ÓÖÖÖÖ
> 0 Ø ÔÔÖØÓÒ× ³ÙÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ÒÒÒ ÔÔÖ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÐÓÓÓÐÐ×××
Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ¸ ØØÐÐÐ ÙÒÒ Ù××××ÒÒÒ ÓÙ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÖÖÖ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½º½µ¸
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÓÒ ÒÙÐÐÐ ´´ººº A 0 (x) = 0µº ÈÙÙ×ÕÙÙ > 0¸ Ð ×ÓÐÙØØÓÒ A = 0 ×Ø
Ò×ØØØÐÐ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ A = 0 ×Ø ×ØØØÐк ÄÄ ××ÑÙÐÐØØÓÒ ÒÙÑÑÖÖÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ
½½º½ ÖÖÚÚÐÐ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ A 0 (x) ÒÚÚÚÚØ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ Ò ÐÐÐ×××ÒØ ÖÖÖÖÖÖ
ÐÐÐ ÙÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ A = ±
√
Ð ÓÓÜ ÒÒÐ +1 ÓÙ −1 ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ
ÒÒØØØÐк ÓÑÑÑ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´ÓÙ ÒÚÐÓÔÔÔµ A ×Ø ÐÐРг³ØØØ ÓÖÖÓÒÒÒ¸ ÒÓÙ×
×ÓÑÑÑ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ³³ÒÚ××ÓÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò×ØØØÐи A = 0¸
ÔÔÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐÐ ±
√
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½º½µº ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙ٠г³ÑÔÐÐØÙÙÙ A
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÙÖÖ ½½º½ ÇÒ ÖÖÖ ÙÒÒ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ÐÓÓÓÐÐ××× Ø ÓÒ ÓÓ××Ø > 0 ØØÐÐÐ
×ÓÖØØ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A = 0 ×Ø Ò×ØØØÐк ÄÄ Ø ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ A = 0 ×ÓÓØ Ò×Øع
ÐÐ Ø ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ ÐÓÓÓÐÐ××× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÙÒÒ ÖØØØÒÒ ÚÚØØ××× v
ØØÖÑÑÒÒÖ ÔÔÖ ÐÐ ×ÙÙØØ ¸ Ø ÐÐÐ××× ÖÖÖÖÖÖ ÐÐÐ ÙÒÒ ×ØÖÙÙØÙÖÖ ÙÒÒ ÑÔÐй
ØÙÙÙ ÕÙÙ×× ÐÐ
√ ´ØÖÖÖØ Ò ÔÓÓÒØØÐÐÐ× ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ Ù ×µº ÇÒ ÑÓÒØÖÖ
×ÙÖ ØØØ ÙÖÖ ××××ÑÑØØÕÙÙÑÑÒØ ÐÐ ×ØÖÙÙØÙÖÖ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ×ÓÙ×¹¹¹¹¹ÒØØ ÕÙÙ
Ò³³×Ø ÔÔ× Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ½½º½¸ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÖÖØ Ù×ØØ Ð³³ÒÚ ÄÄ ÑÔ
ØÓØØÐ ×× Ù ÔÖÓÓÙÙØ Ð³³ÒÚÚÐÓÔÔÔ A ÔÔÖ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ Ó×××ÐÐÐÒØØ e
iqx
´ÚÓÓÖ
½¼µº
ÕÙÙØØÓÒ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÖÖÔÔÔÐÓÒ× ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ½¼º¾¾ Ù ÔÖÖÖÖÖÖÒص
A t = A − |A|
2 A + A xx .
´½½º½µ
ÁÐ ×Ø ÐÐÐÖ ÕÙÙ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ ÑÑØ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× ÓÑÓÓÓÒÒ× Ø ×ØØØØÓÒÒÒÒÖÖ×
×ÙÙÚÒØØ× A = 0 Ø A = ±
√
º ÄÄ ×ÓÐÙØØÓÒ A = 0 ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ
××Ò× ÑÓØØØ ×ÔÔØØØи ØØÒÒÒ× ÕÙÙ ÐÐ× ×ÓÐÙØØÓÒ× A = ±
√
×× ÖÖÖÖÖÖÒØ × ×ÓÐÙØØÓÒ×
ÓÖÖÓÒÒÒÒ× Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ A ÖÖÔÖÖ××ÒØØ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÖÖÓÒÒÒÒº ÆÓÙ×
Ò ÓÙØÖÖ¸ ÚÙ ÕÙ٠гÓÖÖÖÖ ÐÐÐÙ ×× ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ×Ø ÔÓ××ØØØ ´´ººº > 0¸
ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½¼º¾ Ò× ÐÐ ÔÖÖÖÖÖÖÒصº ÄÄ ÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
= 0 Ù ××ÙÙÐ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ Ð³³ØØØ ÓÑÓÓÓÒÒ ´××Ò× ÑÓØØص ÚÖ×
г³ØØØ ÓÖÖÓÒÒÒº ÈÐÐÐÓÒ×¹ÒÓÙ× Ò× × ÓÒÒÒØØÓÒ× ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ³ÓÖÖÖÖ
> 0 Ø ÔÔÖØÓÒ× ³ÙÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ÒÒÒ ÔÔÖ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÐÓÓÓÐÐ×××
Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ¸ ØØÐÐÐ ÙÒÒ Ù××××ÒÒÒ ÓÙ ÙÒÒ ÓÒÒØØÓÒ ÖÖÖ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½º½µ¸
³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÒÓÒ ÒÙÐÐÐ ´´ººº A 0 (x) = 0µº ÈÙÙ×ÕÙÙ > 0¸ Ð ×ÓÐÙØØÓÒ A = 0 ×Ø
Ò×ØØØÐÐ ØØÒÒÒ× ÕÙÙ A = 0 ×Ø ×ØØØÐк ÄÄ ××ÑÙÐÐØØÓÒ ÒÙÑÑÖÖÕÙ٠г³ÕÙÙØØÓÒ
½½º½ ÖÖÚÚÐÐ ÕÙÙ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ A 0 (x) ÒÚÚÚÚØ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ Ò ÐÐÐ×××ÒØ ÖÖÖÖÖÖ
ÐÐÐ ÙÒÒ ÑÔÐÐØÙÙÙ A = ±
√
Ð ÓÓÜ ÒÒÐ +1 ÓÙ −1 ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ
ÒÒØØØÐк ÓÑÑÑ Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ´ÓÙ ÒÚÐÓÔÔÔµ A ×Ø ÐÐРг³ØØØ ÓÖÖÓÒÒÒ¸ ÒÓÙ×
×ÓÑÑÑ× Ò ÔÖÖ××ÒÒÒ ³ÙÒ ÔÖÓÓÐÐÑÑ ³³ÒÚ××ÓÒ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò×ØØØÐи A = 0¸
ÔÔÖ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ×ØØØÐÐ ±
√
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ½½º½µº ÊÊÔÔÔÐÓÒ× ÕÙ٠г³ÑÔÐÐØÙÙÙ A