º ÁÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ Ù
¾¼¼
г³ÚÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÚÚØØ××× ˙
x Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ÔÓÙÖ ÖÖÒØØ× ÚÐÐÙÖ×
Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¾¾µ ÐÐ× ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ× ÖÖ×× ×ÓÒØ ÙÜ
ÚÚÖÖÖØØÓÒ× ÖÙ×ÕÙÙ× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÓØØÕÙÙº
º½½ ÀÀ××ÖÖ Ø ØØÖÑÑÒÒ×ÑÑ
Ò× ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ¸ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÔÖÓÔÓ×ÓÒ× ××ÙØØÖ ÐÐ ÐÐÐÒ ÒØÖÖ ××ÖÖ
Ø ØØÖÑÑÒÒ×ÑѺ ÚÒØ ØØØ ÕÙÙ×ØØÓÒ¸ ÒÓÙ×
ÕÙÙÐÕÙÙ× ÔÖÖÐÐÑÑÒÒÒÖÖ× ÒÒÒÒ××××ÖÖ׺
º½½º½ ij³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ
ÈÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒظ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ØÙÙÙÙ Ò ØØØРг³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ ´ÚÓÓÖ
×××ØØÓÒ º½¾µ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑ× ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÚÖ× ÐÐ Ó×
ÔÔÖ ××××× ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ º½¾º½µº ij³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØظ ÒÒÒ
ÔÔÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
x n+1 = 1 − 2|x n −
1
2
| ≡ f (x n )
´´º¿¾µ
×× ÔÖÖØØ ÑÑÑÙÜ ÒÒÓÖÖ Ð³³ÒÒÐÝ×× Ù ÓÒÒÒÔØ ×ØØØØ×ØØÕÙÙ Ù
ÓÑÑÑ ×ÓÒ ÒÓÑ Ð³³ÒÒÒÕÙÙ¸ ØØØ ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÐ ÓÖÑÑ ³ÙÒÒ ØØÒØØ ´ÚÓÓÖ
ÙÖÖ º¾¿µº ÇÒ ÓÒ×ØØØØ ÕÙ٠г³ÒØØÖÚÐÐÐ [0, 1] ׳³Ò××ÖÖØ Ò× ÐÙÙ ÑÑÑѺ ÇÒ ××
ÐÐÑÑØØ Ò× ÐÐ ×ÙÙØØ Ø ÒØØÖÚÐÐк
ÈÓÙÖ ØÓÙØØ ÚÚÐÐÙÖ x n ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ½»¾ ´x n < 1/2µ¸ ÐÐ ×××ÒÒ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ
ÒØÖÖ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ×ÓÐÙÙ ×Ø ÒÒÒÒØØØ Ø ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ
ÓÑÑÑ x n+1 = 2x n º ÈÓÙÖ ØÓÙØØ ÚÚÐÐÙÖ x n ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ ½»¾¸ ´x n > 1/2µ¸
ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ x n+1 = 2(1 − x n )º
Ò×׸ Ò ÔÔÖØØÒØ ³ÙÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ØØÐÐÐ ÕÙÙ x 0 < 1/2¸ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ
ØØÖÖØØÓÒ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× 2x 0 ´´ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ ÓÒ ××××ØØ ÙÒ ØØÖÖÑÑÒØ Ø
x 0 ÚÖ× 2x 0 µº Ò ÖÖÔÔØØÒØ ØØØ ÓÔÔÖÖØØÓÒ n ÓÓ׸ Ø ØØÒØ ÕÙÙ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ x n
ÖÖ×ØØ Ò ××ÓÙ× 1/2¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒ ØØÖÖÑÑÒØ Ø Ð³³ÒØØÖÚÚÐÐк Ù ÓÙØ
³ÙÒ ÖØØØÒ ÒÓÑÖÖ ³³ØØÖÖØØÓÒ׸ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ x n ÔÔ××× ÐÐ ××ÙÙÐ 1/2¸ Ø Ò×
׸ г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ËÙÔÔÓ×ÓÒ׸ ØØØÖÖ ³³ÜÜÑÔÐи ÕÙÙ
x 0 = 0, 52 ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÓÖ× ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ØØÖÖØØÓÒ x 1 = 2 × 0, 48 = 0, 96¸
ÔÙÙ× x 2 = 2 × (1 − 0, 96) = 0, 08 < 1/2º ÓÒÒ ÙÒÒ ÚÐÐÙÖ ÒÒØØØÐÐ x 0 ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ
0, 5 ÑÑÒÒ ×Ý×ØØÑÑØØÕÙÙÑÑÒØ Ù ÖÖØÓÙÖ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ Ò× Ð³³ÒØØÖÚÐÐÐ [0, 1/2]º
Ò ÖÖ×ÙÑѸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖ ÕÙ٠г³ÚÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ ×Ø ÖÖØØ
ÔÔÖ ÙÜ ÓÔÔÖÖØØÓÒ× ´´µ ÙÒ ØØÖÖÑÑÒØ ÔÔÖ ÙÒ ØØÙÖ ÙÜ Ð³³ÒØØÖÚÐÐÐ [0, 1/2]
ÔÙÙ× ÙÒ ÖÖÔÐÐÐÑÑÒØ Ú Ö× Ð³³ÒØØÖÚÚÐÐÐ ÔÔÖظ Ø Ò×× ×ÙÙØغ ÁР׳³³³Ø ÐÐ ³ÙÒÒ
ÔÖÓÔÖÖÖØØ ÒÒÖÖÐÐ × ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ× ÓØØÕÙÙ× ÙÒ ÕÙÙ ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒ
Ð Ú ÖÖÖÒÒÒ × ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××׸ Ø ÙÒ ÖÖÔÐÐÐÑÑÒØ Õ Ù
ÑÑÑÒØØØÒØ Ð³³ØØÖÖÖØØÙÖ ÓÖÒÒº
¾¼¼
г³ÚÓÐÙØØÓÒ ÐÐ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÚÚØØ××× ˙
x Ù ÓÙÖ× Ù ØØÑÔ× ÔÓÙÖ ÖÖÒØØ× ÚÐÐÙÖ×
Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¾¾µ ÐÐ× ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ× ÖÖ×× ×ÓÒØ ÙÜ
ÚÚÖÖÖØØÓÒ× ÖÙ×ÕÙÙ× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÓØØÕÙÙº
º½½ ÀÀ××ÖÖ Ø ØØÖÑÑÒÒ×ÑÑ
Ò× ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ¸ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÔÖÓÔÓ×ÓÒ× ××ÙØØÖ ÐÐ ÐÐÐÒ ÒØÖÖ ××ÖÖ
Ø ØØÖÑÑÒÒ×ÑѺ ÚÒØ ØØØ ÕÙÙ×ØØÓÒ¸ ÒÓÙ×
ÕÙÙÐÕÙÙ× ÔÖÖÐÐÑÑÒÒÒÖÖ× ÒÒÒÒ××××ÖÖ׺
º½½º½ ij³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ
ÈÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒظ ÒÓÙ× ÚÓÒ× ØÙÙÙÙ Ò ØØØРг³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ ´ÚÓÓÖ
×××ØØÓÒ º½¾µ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÔÖÑÑ× ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ØÖÖÒ××ØØÓÒ ÚÖ× ÐÐ Ó×
ÔÔÖ ××××× ×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ º½¾º½µº ij³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØظ ÒÒÒ
ÔÔÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
x n+1 = 1 − 2|x n −
1
2
| ≡ f (x n )
´´º¿¾µ
×× ÔÖÖØØ ÑÑÑÙÜ ÒÒÓÖÖ Ð³³ÒÒÐÝ×× Ù ÓÒÒÒÔØ ×ØØØØ×ØØÕÙÙ Ù
ÓÑÑÑ ×ÓÒ ÒÓÑ Ð³³ÒÒÒÕÙÙ¸ ØØØ ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÐ ÓÖÑÑ ³ÙÒÒ ØØÒØØ ´ÚÓÓÖ
ÙÖÖ º¾¿µº ÇÒ ÓÒ×ØØØØ ÕÙ٠г³ÒØØÖÚÐÐÐ [0, 1] ׳³Ò××ÖÖØ Ò× ÐÙÙ ÑÑÑѺ ÇÒ ××
ÐÐÑÑØØ Ò× ÐÐ ×ÙÙØØ Ø ÒØØÖÚÐÐк
ÈÓÙÖ ØÓÙØØ ÚÚÐÐÙÖ x n ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ½»¾ ´x n < 1/2µ¸ ÐÐ ×××ÒÒ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ
ÒØÖÖ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ×ÓÐÙÙ ×Ø ÒÒÒÒØØØ Ø ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ
ÓÑÑÑ x n+1 = 2x n º ÈÓÙÖ ØÓÙØØ ÚÚÐÐÙÖ x n ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ ½»¾¸ ´x n > 1/2µ¸
ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ØØØ ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ x n+1 = 2(1 − x n )º
Ò×׸ Ò ÔÔÖØØÒØ ³ÙÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ØØÐÐÐ ÕÙÙ x 0 < 1/2¸ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ
ØØÖÖØØÓÒ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× 2x 0 ´´ÙØÖÖÑÑÒØ Ø¸ ÓÒ ××××ØØ ÙÒ ØØÖÖÑÑÒØ Ø
x 0 ÚÖ× 2x 0 µº Ò ÖÖÔÔØØÒØ ØØØ ÓÔÔÖÖØØÓÒ n ÓÓ׸ Ø ØØÒØ ÕÙÙ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ x n
ÖÖ×ØØ Ò ××ÓÙ× 1/2¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒ ØØÖÖÑÑÒØ Ø Ð³³ÒØØÖÚÚÐÐк Ù ÓÙØ
³ÙÒ ÖØØØÒ ÒÓÑÖÖ ³³ØØÖÖØØÓÒ׸ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ x n ÔÔ××× ÐÐ ××ÙÙÐ 1/2¸ Ø Ò×
׸ г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ËÙÔÔÓ×ÓÒ׸ ØØØÖÖ ³³ÜÜÑÔÐи ÕÙÙ
x 0 = 0, 52 ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÓÖ× ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ØØÖÖØØÓÒ x 1 = 2 × 0, 48 = 0, 96¸
ÔÙÙ× x 2 = 2 × (1 − 0, 96) = 0, 08 < 1/2º ÓÒÒ ÙÒÒ ÚÐÐÙÖ ÒÒØØØÐÐ x 0 ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ
0, 5 ÑÑÒÒ ×Ý×ØØÑÑØØÕÙÙÑÑÒØ Ù ÖÖØÓÙÖ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ Ò× Ð³³ÒØØÖÚÐÐÐ [0, 1/2]º
Ò ÖÖ×ÙÑѸ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÖÖÖÖ ÕÙ٠г³ÚÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØÒØØ ×Ø ÖÖØØ
ÔÔÖ ÙÜ ÓÔÔÖÖØØÓÒ× ´´µ ÙÒ ØØÖÖÑÑÒØ ÔÔÖ ÙÒ ØØÙÖ ÙÜ Ð³³ÒØØÖÚÐÐÐ [0, 1/2]
ÔÙÙ× ÙÒ ÖÖÔÐÐÐÑÑÒØ Ú Ö× Ð³³ÒØØÖÚÚÐÐÐ ÔÔÖظ Ø Ò×× ×ÙÙØغ ÁР׳³³³Ø ÐÐ ³ÙÒÒ
ÔÖÓÔÖÖÖØØ ÒÒÖÖÐÐ × ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ× ÓØØÕÙÙ× ÙÒ ÕÙÙ ÓÖÖÖ×ÔÓÒÒ
Ð Ú ÖÖÖÒÒÒ × ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××׸ Ø ÙÒ ÖÖÔÐÐÐÑÑÒØ Õ Ù
ÑÑÑÒØØØÒØ Ð³³ØØÖÖÖØØÙÖ ÓÖÒÒº