¾¼¼
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÙÖÖ º¾½ ÇÒ ÔÔÙØ ÚÚ××Ö ØØØ ÙÖÖ Ò ØÖÓÓ× ÙÖÖ× ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖ׺ ËË ÓÒ Ñ¹
ÔÐÐÐÐ ´ÓÙ ÓÒ ÞÓÓÑѵ ÔÔÖ ÙÒ ØØÙÖ ÙÜ ØØ × ØÖÓÓ× ÙÖÖ׸ ÓÒ ÓÓØØØÒØ
ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ ØÓØØÐк ÄÄ ÖÖÔÔÓÖØ ÒØÖÖ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ³³ÑÑÑÑ× ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖ× Ø ÐÐ ØØÙÖ
³³ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ ÚÚÙØ ÓÒÒ 3/2º
ØØÖÖÖØØÙÖ × ÓÖÖÖØØ× ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ× Ò×ØØØÐÐ׸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ × ÓÙÖÖÖ× ÔÐÙ× ÓÙ
ÑÓÓÒ× ÓÑÔÐÐÜÜ× ÒÒÒÒÚØÖÖÖ× ÐÐ× ÙÒÒ× Ò× ÐÐ× ÙØÖÖ׺ Ò ÚÚÖÖÖÖ ÙÒ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ð³³ØØÖÖÖØØÙÖ ÔÔÙØ ÓÖÑÑ ØØÐ×
ÚÚÒÒÑÑÒØ׸ ÒÓÑÑÑ× ÖÖ××׸ ×× ÔÖÓÓÙÙ××ÒØ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ ÐÓÖ× ÐÐ ÓÐÐÐ××ÓÒ Ò¹
ØÖÖ ÙÒ ØØÖÖÖØØÙÖ ØÖÖÒÒÒ Ø ÙÒÒ ÓÖÖÖØØ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ Ò×ØØØÐк ÌÖÓÓ× ØÝÔÔ× ÖÖ×××
ÓÒØ ØØ ÒØØØØ× ´´µ Ò× ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ ×¸ ÙÒ ØØÖÖÖØØÙÖ ØÖÖÒÒÒ ×Ø ØÖÙÙظ
´´´µ Ò× ÐÐ ×××ÓÒÒ ×¸ ÐÐ ØØØÐÐРг³ØØÖÖÖØØÙÖ ×ÙÙÙØØÑÑÒØ ÕÙÙÒÒ ÐÐ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÙÒÒ ÖØØØÒÒ ÚÚÐÐÙÖ Ø ´´´´µ Ò× ÐÐ ØÖÓÓ×××ÑÑ ×¸
ÙÜ ´ÓÙ ÔÐÙ×µ ØØÖÖÖØØÙÖ× Ù××ÓÒÒÒÒØ ÔÓÙÖ ÓÖÑÑÖ ÙÒ ØØÖÖÖØØÙÖ ÙÒÒÕÙÙº ÄÄ
ÑÑÒÒÒÒ×ØØØØÓÒ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐÐ ³ÙÒÒ ÖÖ×× ××ÓÓÓÓÓ Ù ÒÒÒÑÑÒØ ÖÙÔØ Ð³³Ø¹
ØÖÖÖØØÙÖ ×³ÓÓ××ÖÚÚ ÐÐÑÑÒØ ×ÙÖ ÐÐ ×××ÒÒÐ ÓØØÕÙÙº
ÈÖÖÒÓÒ׸ ØØØÖÖ ³³ÜÜÑÔÐи гÓ×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓÐ ×ÓÙÑÑ× ÙÒÒ Ü¹
ØØØØÓÒ ÜØØÖÖÖÙÖÖ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ º½µ ÓÓÓÓ×××ÒØ ÓÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
×ÙÙÚÚÒØØ
¨
x + μ(x
2
− 1) ˙
x + x = a sin(ωt) ,
´´º¿½µ
ÓÓ μ ×Ø ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÔÓ××ØØظ Ø a ×Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ¸ Ø ω
×× ÔÙÐ××ØØÓÒº ij³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×× ³ÙÒ ØØÐ Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ×Ø ÑÑÒ××ÓÒ ¿ ´ÐÐ×
ØÖÓÓ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ×ÓÒØ t¸ x Ø ˙
x ÚÓÓÖ ÐÐÑÑÒØ ×××ØØÓÒ º½¿µº ÄÄ ×Ý×ØØÑÑ Ý¹
ÒÒÑÑÕÙÙ ÔÓ×××××ÒØ ¿ ÖÖ× ÐÐÐÐÖØظ ÙÒÒ ××ØÙÙØØÓÒ ×Ø ØÓÙØ Ø
ÔÓ××××ÐÐ ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ º½¿ µ¸ ÓÑÑÑ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÐÐ ÓÒ×ØØØØÖ Ò ÜÜÑÑÒÒÒØ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÙÖÖ º¾½ ÇÒ ÔÔÙØ ÚÚ××Ö ØØØ ÙÖÖ Ò ØÖÓÓ× ÙÖÖ× ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖ׺ ËË ÓÒ Ñ¹
ÔÐÐÐÐ ´ÓÙ ÓÒ ÞÓÓÑѵ ÔÔÖ ÙÒ ØØÙÖ ÙÜ ØØ × ØÖÓÓ× ÙÖÖ׸ ÓÒ ÓÓØØØÒØ
ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ ØÓØØÐк ÄÄ ÖÖÔÔÓÖØ ÒØÖÖ ÐÐ ÒÓÑÑÖÖ ³³ÑÑÑÑ× ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖ× Ø ÐÐ ØØÙÖ
³³ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ ÚÚÙØ ÓÒÒ 3/2º
ØØÖÖÖØØÙÖ × ÓÖÖÖØØ× ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ× Ò×ØØØÐÐ׸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ × ÓÙÖÖÖ× ÔÐÙ× ÓÙ
ÑÓÓÒ× ÓÑÔÐÐÜÜ× ÒÒÒÒÚØÖÖÖ× ÐÐ× ÙÒÒ× Ò× ÐÐ× ÙØÖÖ׺ Ò ÚÚÖÖÖÖ ÙÒ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ð³³ØØÖÖÖØØÙÖ ÔÔÙØ ÓÖÑÑ ØØÐ×
ÚÚÒÒÑÑÒØ׸ ÒÓÑÑÑ× ÖÖ××׸ ×× ÔÖÓÓÙÙ××ÒØ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ ÐÓÖ× ÐÐ ÓÐÐÐ××ÓÒ Ò¹
ØÖÖ ÙÒ ØØÖÖÖØØÙÖ ØÖÖÒÒÒ Ø ÙÒÒ ÓÖÖÖØØ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ Ò×ØØØÐк ÌÖÓÓ× ØÝÔÔ× ÖÖ×××
ÓÒØ ØØ ÒØØØØ× ´´µ Ò× ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖ ×¸ ÙÒ ØØÖÖÖØØÙÖ ØÖÖÒÒÒ ×Ø ØÖÙÙظ
´´´µ Ò× ÐÐ ×××ÓÒÒ ×¸ ÐÐ ØØØÐÐРг³ØØÖÖÖØØÙÖ ×ÙÙÙØØÑÑÒØ ÕÙÙÒÒ ÐÐ
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÙÒÒ ÖØØØÒÒ ÚÚÐÐÙÖ Ø ´´´´µ Ò× ÐÐ ØÖÓÓ×××ÑÑ ×¸
ÙÜ ´ÓÙ ÔÐÙ×µ ØØÖÖÖØØÙÖ× Ù××ÓÒÒÒÒØ ÔÓÙÖ ÓÖÑÑÖ ÙÒ ØØÖÖÖØØÙÖ ÙÒÒÕÙÙº ÄÄ
ÑÑÒÒÒÒ×ØØØØÓÒ ÔÖÖÒÒÒÔÔÐÐ ³ÙÒÒ ÖÖ×× ××ÓÓÓÓÓ Ù ÒÒÒÑÑÒØ ÖÙÔØ Ð³³Ø¹
ØÖÖÖØØÙÖ ×³ÓÓ××ÖÚÚ ÐÐÑÑÒØ ×ÙÖ ÐÐ ×××ÒÒÐ ÓØØÕÙÙº
ÈÖÖÒÓÒ׸ ØØØÖÖ ³³ÜÜÑÔÐи гÓ×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓÐ ×ÓÙÑÑ× ÙÒÒ Ü¹
ØØØØÓÒ ÜØØÖÖÖÙÖÖ ÔÔÖÖÓÓÓÕÙÙ ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ º½µ ÓÓÓÓ×××ÒØ ÓÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
×ÙÙÚÚÒØØ
¨
x + μ(x
2
− 1) ˙
x + x = a sin(ωt) ,
´´º¿½µ
ÓÓ μ ×Ø ÙÒ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÔÓ××ØØظ Ø a ×Ø Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ ÐÐ ÔÔÖØÙÖÖÖØØÓÒ¸ Ø ω
×× ÔÙÐ××ØØÓÒº ij³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×× ³ÙÒ ØØÐ Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ×Ø ÑÑÒ××ÓÒ ¿ ´ÐÐ×
ØÖÓÓ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ×ÓÒØ t¸ x Ø ˙
x ÚÓÓÖ ÐÐÑÑÒØ ×××ØØÓÒ º½¿µº ÄÄ ×Ý×ØØÑÑ Ý¹
ÒÒÑÑÕÙÙ ÔÓ×××××ÒØ ¿ ÖÖ× ÐÐÐÐÖØظ ÙÒÒ ××ØÙÙØØÓÒ ×Ø ØÓÙØ Ø
ÔÓ××××ÐÐ ´ÚÓÓÖ ×××ØØÓÒ º½¿ µ¸ ÓÑÑÑ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÐÐ ÓÒ×ØØØØÖ Ò ÜÜÑÑÒÒÒØ