¾¼¾
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÚÒØ ÐÓÖÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ¸ Ò×××ØÓÒ× ×ÙÖ ÐÐ Ø ÕÙ³ÙÒÒ ÙÖÖ ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖ
Ò³³×Ø ÔÔ× ÓÖÖÖÑÑÒØ ÖÖÖØØÐк ºÒ ظ ÔÖÖÒÓÒ× ÐÐ × ³ÙÒ ÖÖÖ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¾¼µ
ÕÙÙ ÒÓÙ× Ò ÕÙÙØÖÖ ÖÖÖ׸ ÙܹÑÑÑÑ× ×ÙÙÙÙÚÚ××× Ò Ø Ö Ô Ø Ó Ò ×
гÓÔÔÖÖØØÓÒ ÙÒ ÖØØØÒ ÒÓÑÑÖÖ ÓÓ׺ ÜÓÒ× ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ù ÖÖÖ ÒÒØØØÐ
гÙÒÒØØ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ØØÖÖØØÓÒ¸ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ØØ Ù ÔÔØØØ ÖÖÖ ×Ø ÐÐ
(1/2)
2
º ü г³ØØÖÖØØÓÒ m¸ 4
m
ÖÖÖ× ×ÓÒØ ÔÖÓÓÙÙØ׸ ÙÒÒ ÐÓÒÒÙÙÙÖ (1/2)
m
ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÐÙ× ÔÔØØØ × ÖÖÖ׺ ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ׸ ³³ÔÖÖ× ÐÐ ÒÒØØÓÒ ÐÐ ÑÑÒ¹
××ÓÒ ÖÖÖØØÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µ¸ D = ln(4
m
)/ln(2
m
) = ln(4)/ln(2) = 2¸ ÑÑÒ××ÓÒ
ÐÐ ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ ÙÙÐÐÐÐÐÒÒÒº
ÍÒÒ ÒØØÖÔÖÖØØØØÓÒ ÔÐÙ× ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ ÖÖÖØØÐÐ ÒÒÒ ÔÔÖ Ð³³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ º¾¾ ÔÔÙØ ØÖÖ ÓÒÒÒÒ Ò ÐÐ ÓÒ××××ÖÖÒØ ÓÑÑÑ ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ × ÐÓÓÓÖÖØØÑÑ×
Ù ÒÓÑÖÖ ÔÔÖØØØ× ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖ× Ø Ù ØØÙÖ ³³ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ¸ ×ÓÓØ
D =
ln(ÒÓÑÑÖÖ ØÓØØÐ ÔÔÖØØØ× ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖ×)
ln´´´´ØØÙÖ ³³ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒµ
´´º¾¾µ
ÁÐÐÙ×ØÖÓÒ× ØØØ ÒØØÖÔÖÖØØØØÓÒ Ð³³³³³ Ù ÖÖÖ ÐÐ ÙÖÖ º¾¼º ÄÄ ×ÙÙÙÙÚÚ××ÓÒ
Ù ÖÖÖ ÒÒØØØÐ Ò N
2
ÔÔØØØ× ÖÖÖ× ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖ× ´´´ÙÖÖ º¾¼µ
ÙÒ ØØÙÖ ³³ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ Ð N ´´Ò ÔÔ×××ÒØ ÕÙÙØÖÖ ÖÖÖ× ÙÒ ÖÖÖ
ÙÒÒÕÙÙ¸ ÐÐ ØØÙÖ ³³ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ ÕÙÙ ÔÔØØØ ÖÖÖ ×Ø Ð Ùܵº ÆÓÙ×
ÓÓØØÒÓÒ׸ ³³ÔÖÖ× ÐÐ ÒÓÙÚÐÐÐ ÐÐÐØÙÖÖ ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ ÖÖÖØØÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µ¸
D = ln(N
2
)/ln(N ) = 2º ÄÄ ÑÑÑÑ ÓÔÔÖÖØØÓÒ ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖÖÐÐ××× ÙÒ ÙÙÙ¸
ÔÓÙÖ ØÖÓÙÚÚÖ ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ ÖÖÖØØÐÐ D = 3º ÉÙÙ Ùع¹Ð ÓÒÒ ÔÐÙ× ÕÙ٠г³ÙØÓ¹
××ÑÑÐÐÖÖØØ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ ÖÖÖØØÐÐ ÒÓÒ ÊÊÊÊÖÖÓÒ× ³³³ÓÖÖ
ÕÙÙ ÓÒÒÒ ÐÐ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ ÖÖÖØØÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µ
ÔÓÙÖ ÐÐ ØÖÖÖÒÒÐÐ ËËËÖÔÔÒ××× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º½½µº ØØØ ÙÖÖ ÓÑÑØÖÖÕÙÙ ×Ø
ÓÓØØÒÙÙ ×Ø ×ÙÙÙÙÚÚ××ÒØ ÐÐ ØÖÖÖÒÒÐÐ ÒÒØØØÐ Ò ÕÙÙØÖÖ ØÖÖÖÒÒÐÐ׸ ÓÒØ ØÖÓÓ× ×ÓÒØ
ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖ× ´ÐÐ× ØÖÖÖÒÒÐÐ× Ò ÒÓÓÖµº ÄÄ ÐÓÒÒÙÙÙÖ × ØØ× ÕÙÙ ØÖÖÖÒÒÐÐ
ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖ ×Ø ÙÜ ÓÓ× ÔÐÙ× ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ÐÐÐ Ù ØÖÖÖÒÒÐÐ ÒÒØØØк Ò×׸
г³××ÙÙ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ØØÖÖØØÓÒ¸ ÐÐ ØØÙÖ ³³ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ ×Ø Ð ÙÜ ÔÓÙÖ
ÐÐ× ØÖÓÓ× ØÖÖÖÒÒÐÐ× ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖ׺ ÄÄ ÑÑÑÑ ÓÔÔÖÖØØÓÒ ×Ø ÖÖÖØØÖÖÖ Ú × ØÖÓÓ×
ØÖÖÖÒÒÐÐ׸ Ø Ò×× ×ÙÙØغ ÈÖ ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ ÖÖÖØØÐÐ ÚÙØ
D =
ln(3)
ln(2)
= 1, 58...
´´º¿¼µ
Ò ÕÙÙÐÕÙÙ ×ÓÖØظ ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ ÖÖÖØØÐÐ ÓÒØØØÒØ Ø × ÒÒÓÖÑÑØØÓÒ× ³ÙÒÒ ÔÔÖظ
×ÙÖ Ð³³ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÖÖØØ Ø ³³ÙØÖÖ ÔÔÖظ ×ÙÖ ÐÐ ÓÑÔÐÐÜÜØØ ÐÐ ÙÖÖ Ù ØÖÖÖÒÒÐÐ
ËËËÖÔÔÒ××× ´´´ÙÖÖ º½½µ ×Ø ÔÐÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ ÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖ ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖ Ù ÖÖÖ
´´´ÙÖÖ º¾¼µº
º½½ ÖÖ×××
ij³ØØØ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÙØ ØÖÖ ÓÒÒ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÔÔÖ ÙÒ ØØÖÖÖØØÙÖ
³ÙÒ Ò××ÑÐÐ ÔÓÓÒØ× Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× ÙÒÒ ØÖÖ¹
ØÓÓÖÖ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ Ù ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÔÔÒÒÒÒØ ÖÖÔÔÖÖÖ Ò× Ø
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
ÚÒØ ÐÓÖÖ ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ¸ Ò×××ØÓÒ× ×ÙÖ ÐÐ Ø ÕÙ³ÙÒÒ ÙÖÖ ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖ
Ò³³×Ø ÔÔ× ÓÖÖÖÑÑÒØ ÖÖÖØØÐк ºÒ ظ ÔÖÖÒÓÒ× ÐÐ × ³ÙÒ ÖÖÖ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¾¼µ
ÕÙÙ ÒÓÙ× Ò ÕÙÙØÖÖ ÖÖÖ׸ ÙܹÑÑÑÑ× ×ÙÙÙÙÚÚ××× Ò Ø Ö Ô Ø Ó Ò ×
гÓÔÔÖÖØØÓÒ ÙÒ ÖØØØÒ ÒÓÑÑÖÖ ÓÓ׺ ÜÓÒ× ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ Ù ÖÖÖ ÒÒØØØÐ
гÙÒÒØØ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ØØÖÖØØÓÒ¸ ÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ Ù ØØ Ù ÔÔØØØ ÖÖÖ ×Ø ÐÐ
(1/2)
2
º ü г³ØØÖÖØØÓÒ m¸ 4
m
ÖÖÖ× ×ÓÒØ ÔÖÓÓÙÙØ׸ ÙÒÒ ÐÓÒÒÙÙÙÖ (1/2)
m
ÔÓÙÖ ÐÐ ÔÐÙ× ÔÔØØØ × ÖÖÖ׺ ÆÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ׸ ³³ÔÖÖ× ÐÐ ÒÒØØÓÒ ÐÐ ÑÑÒ¹
××ÓÒ ÖÖÖØØÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µ¸ D = ln(4
m
)/ln(2
m
) = ln(4)/ln(2) = 2¸ ÑÑÒ××ÓÒ
ÐÐ ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ ÙÙÐÐÐÐÐÒÒÒº
ÍÒÒ ÒØØÖÔÖÖØØØØÓÒ ÔÐÙ× ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ ÖÖÖØØÐÐ ÒÒÒ ÔÔÖ Ð³³ÕÙÙ¹
ØØÓÒ º¾¾ ÔÔÙØ ØÖÖ ÓÒÒÒÒ Ò ÐÐ ÓÒ××××ÖÖÒØ ÓÑÑÑ ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ × ÐÓÓÓÖÖØØÑÑ×
Ù ÒÓÑÖÖ ÔÔÖØØØ× ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖ× Ø Ù ØØÙÖ ³³ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ¸ ×ÓÓØ
D =
ln(ÒÓÑÑÖÖ ØÓØØÐ ÔÔÖØØØ× ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖ×)
ln´´´´ØØÙÖ ³³ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒµ
´´º¾¾µ
ÁÐÐÙ×ØÖÓÒ× ØØØ ÒØØÖÔÖÖØØØØÓÒ Ð³³³³³ Ù ÖÖÖ ÐÐ ÙÖÖ º¾¼º ÄÄ ×ÙÙÙÙÚÚ××ÓÒ
Ù ÖÖÖ ÒÒØØØÐ Ò N
2
ÔÔØØØ× ÖÖÖ× ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖ× ´´´ÙÖÖ º¾¼µ
ÙÒ ØØÙÖ ³³ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ Ð N ´´Ò ÔÔ×××ÒØ ÕÙÙØÖÖ ÖÖÖ× ÙÒ ÖÖÖ
ÙÒÒÕÙÙ¸ ÐÐ ØØÙÖ ³³ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ ÕÙÙ ÔÔØØØ ÖÖÖ ×Ø Ð Ùܵº ÆÓÙ×
ÓÓØØÒÓÒ׸ ³³ÔÖÖ× ÐÐ ÒÓÙÚÐÐÐ ÐÐÐØÙÖÖ ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ ÖÖÖØØÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µ¸
D = ln(N
2
)/ln(N ) = 2º ÄÄ ÑÑÑÑ ÓÔÔÖÖØØÓÒ ÔÔÙØ ØÖÖ ÖÖÖÐÐ××× ÙÒ ÙÙÙ¸
ÔÓÙÖ ØÖÓÙÚÚÖ ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ ÖÖÖØØÐÐ D = 3º ÉÙÙ Ùع¹Ð ÓÒÒ ÔÐÙ× ÕÙ٠г³ÙØÓ¹
××ÑÑÐÐÖÖØØ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ ÖÖÖØØÐÐ ÒÓÒ ÊÊÊÊÖÖÓÒ× ³³³ÓÖÖ
ÕÙÙ ÓÒÒÒ ÐÐ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ ÖÖÖØØÐÐ ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µ
ÔÓÙÖ ÐÐ ØÖÖÖÒÒÐÐ ËËËÖÔÔÒ××× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º½½µº ØØØ ÙÖÖ ÓÑÑØÖÖÕÙÙ ×Ø
ÓÓØØÒÙÙ ×Ø ×ÙÙÙÙÚÚ××ÒØ ÐÐ ØÖÖÖÒÒÐÐ ÒÒØØØÐ Ò ÕÙÙØÖÖ ØÖÖÖÒÒÐÐ׸ ÓÒØ ØÖÓÓ× ×ÓÒØ
ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖ× ´ÐÐ× ØÖÖÖÒÒÐÐ× Ò ÒÓÓÖµº ÄÄ ÐÓÒÒÙÙÙÖ × ØØ× ÕÙÙ ØÖÖÖÒÒÐÐ
ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖ ×Ø ÙÜ ÓÓ× ÔÐÙ× ÒÒÒÖÖÖÙÖÖ ÐÐÐ Ù ØÖÖÖÒÒÐÐ ÒÒØØØк Ò×׸
г³××ÙÙ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ØØÖÖØØÓÒ¸ ÐÐ ØØÙÖ ³³ÑÔÐÐÐÐÐØØÓÒ ×Ø Ð ÙÜ ÔÓÙÖ
ÐÐ× ØÖÓÓ× ØÖÖÖÒÒÐÐ× ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖ׺ ÄÄ ÑÑÑÑ ÓÔÔÖÖØØÓÒ ×Ø ÖÖÖØØÖÖÖ Ú × ØÖÓÓ×
ØÖÖÖÒÒÐÐ׸ Ø Ò×× ×ÙÙØغ ÈÖ ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ ÖÖÖØØÐÐ ÚÙØ
D =
ln(3)
ln(2)
= 1, 58...
´´º¿¼µ
Ò ÕÙÙÐÕÙÙ ×ÓÖØظ ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ ÖÖÖØØÐÐ ÓÒØØØÒØ Ø × ÒÒÓÖÑÑØØÓÒ× ³ÙÒÒ ÔÔÖظ
×ÙÖ Ð³³ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÖÖØØ Ø ³³ÙØÖÖ ÔÔÖظ ×ÙÖ ÐÐ ÓÑÔÐÐÜÜØØ ÐÐ ÙÖÖ Ù ØÖÖÖÒÒÐÐ
ËËËÖÔÔÒ××× ´´´ÙÖÖ º½½µ ×Ø ÔÐÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ ÕÙÙ ÐÐ ÙÖÖ ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖ Ù ÖÖÖ
´´´ÙÖÖ º¾¼µº
º½½ ÖÖ×××
ij³ØØØ ³ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÙØ ØÖÖ ÓÒÒ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ ÔÔÖ ÙÒ ØØÖÖÖØØÙÖ
³ÙÒ Ò××ÑÐÐ ÔÓÓÒØ× Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ × ÔÔÔ××× ÙÒÒ ØÖÖ¹
ØÓÓÖÖ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ Ù ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÔÔÒÒÒÒØ ÖÖÔÔÖÖÖ Ò× Ø