º ÁÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ Ù
¾¼½
ÙÖÖ º½½ ÇÒ ÔÖÖÒÒ ØØ Ù ØÖÖÖÒÒÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ÙÒÒØظ Ø ÓÒ ÐÐ
Ò ØÖÓÓ׸ ÑÑÒÒÒÖÖ Ý ÑÑØØÖÖ Ù ÐÐ ×× ³ÙÒ ØÖÖÖÒÒÐÐ ÕÙÙÐÐØØÖÖÐ ØØ 1/3¸
Ø Ò×× ×ÙÙØغ ØØØ ÖÖÖØØÐÐ ×Ø ÔÔÖÖÓÓ× ÔÔÔÐÐÐ ÒÒÒÒÒº
ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ ÖÖÖØØÐÐ ¾ ´D = 2¸ ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µº
ÎÒÓÒ×¹¹Ò ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØØ ÒÒØØÓÒ ÔÓÙÖ × ÓÓØ×
ÙØÓ××ÑÑÐÐÐÖÖ׸ Ø ÔÖÖÒÓÒ× ÐÐ × ÐÐ ÙÖÖ ÓÑÑØÖÖÕÙÙ ØØ ÚÓÒ
ÃÓÓ ¸ ÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ ×ÙÙÙÓÓ× ÀÀÐÐÐ ÚÓÒ ÃÓÓ ´½½½¼¹½½¾¾µ Ò
ÚÚÒØ Ð³³ÒÚÒØØÓÒ Ù ØØÖÑÑ ÖÖÖØØÐÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º½½µº ÚÒØ ³ÓÓØØÒÒÖ Ð³³Ñ¹
ØÖÖ× ÖÖÑÑÑÑѸ ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÔÔÖØØ× ³ÙÒ ØÖÖÖÒÒÐÐ ÕÙÙÐÐØØÖÖÐ
´ÖÖÔÖÖ××ÒØØ Ð³³ÜØÖÖÑÑØØ ÙÙ ÐÐ ÙÖÖ º½½µ ÔÙÙ׸ ØØ Ù ØÖÖÖÒ¹
ÐÐ ×Ø ×ÙÙÙÙÚÚ×× Ò ¿ ×××ÑÑÒØ× Ùܸ ÐÐ ×××ÑÑÒØ Ù ÑÑÐÐÐÙ ÚÚÚÒØ ÐÓÖ× ÐÐ
×× ³ÙÒ ÒÓÙÚÙ ØÖÖÖÒÒÐÐ ÕÙÙÐÐØØÖÖÐ ÓÒÒ ÔÐÙ× ÔÔØØØ ÕÙÙ ÐÐ ØÖÖÖÒÒÐÐ ÒÒØØØÐ
ÝÒØ ÓÑÑÑ ØØ ÐÐ ØØØÖ× Ù ØÖÖÖÒÒÐÐ ÒÒØØØи Ø ÐÐ ÔÖÓÓÓÓÓ ×Ø ÖÖÔÔØØ Ð³³³³Ò¹
ØØÕÙÙ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÙÒÒ ÙÖÖ ÓÑÑØÖÖÕÙÙ ØÖÖ× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ
º½½µº ü ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ØØÖÖØØÓÒ¸ ×× ×ÙÙ×ØØØÙÙÒØ Ø Ø ÕÙÙ ØØ Ù ØÖÖÖÒÒÐÐ ÒÒØØØÐ
ÐÓÒÒÙÙÙÖ 1¸ ÕÙÙØÖÖ ×××ÑÑÒØ× ØØØÐÐÐ 1/3 ´´´ÙÜÜÜÑÑ ÑÑÑÑ ÐÐ ÙÖÖ º½½µº
ÙÒ × ÔÔØØØ× ×××ÑÑÒØ× ÓÒÒÒ ÐÐÐÙ ÕÙÙØÖÖ ×××ÑÑÒØ× ØØØÐÐÐ 1/9 Ø
Ò×× ×ÙÙØغ ü ÐÐ m
ime
ØØÖÖØØÓÒ¸ ÐÐ ÙÖÖ ×Ø 4
m
×××ÑÑÒØ׸ ¹
ÙÒ ØØØÐÐÐ (1/3)
m
º ÄÄ ÒÒØØÓÒ ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ ÖÖÖØØÐÐ D ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾¸
ÓÓ ÒÓÙ× ÒÓØÓÒ× ÕÙÙ → 0 ×Ø ÕÙÙÚÐÐÒØ Ø m → ∞µ ÒÓÙ× ÓÒÒÒ
D = lim
m→∞
ln(4
m
)
ln(3) m = ln(4)/ln(3) 1, 26...
´´º¾¾µ
ÄÄ ÑÑÒ××ÓÒ Ø ÓÓظ ÑÑÑÑ ³³ÔÔÔÖÖÒÒÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ×Ø ÐÐ ÙÒÒ ÖÖÖØØÓÒ
гÙÒÒØØ Ð³³³³³³ØØØ ÕÙÙÐÐÐÐÐØØØ ÕÙÙ º ÅÅÒÒÒÐÐÖÓØ ÐÙÙ ØØÖÖÖÙÙ ×Ø ××Ù
ÐÐ ÖÖÖÖÒÒ ÐÐØØÒÒ ÖØÙ׸ ÕÙÙ ×××ÒÒÒÒ ÖÖ×׸ ÖÖÖÖÙÐÐÐÖº ÄÄ ØÖÖÖÒÒÐÐ ËËËÖÔÔÒ×××
Ù ÒÓÑ Ù ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ ÔÓÐÓÒÒÒ× ÏÐÐÛ Û ÖÖÒÒÒ×ÞÞÞ ËËËÖÔÔÒ××× ´½½½¾¹½½½½µ
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º½½µ ÑÓÒØÖÖ ÙÒÒ ÙØÖÖ ÖÖÖØØÐÐ ÐÐÐÖÖ ÓÒØ ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ ÚÚÙØ
ÒÚÚÖÓÒ 1.58º
¾¼½
ÙÖÖ º½½ ÇÒ ÔÖÖÒÒ ØØ Ù ØÖÖÖÒÒÐÐ ÐÓÒÒÙÙÙÖ ÙÒÒØظ Ø ÓÒ ÐÐ
Ò ØÖÓÓ׸ ÑÑÒÒÒÖÖ Ý ÑÑØØÖÖ Ù ÐÐ ×× ³ÙÒ ØÖÖÖÒÒÐÐ ÕÙÙÐÐØØÖÖÐ ØØ 1/3¸
Ø Ò×× ×ÙÙØغ ØØØ ÖÖÖØØÐÐ ×Ø ÔÔÖÖÓÓ× ÔÔÔÐÐÐ ÒÒÒÒÒº
ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒÒ ÑÑÒ××ÓÒ ÖÖÖØØÐÐ ¾ ´D = 2¸ ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µº
ÎÒÓÒ×¹¹Ò ÑÑÑÒØØÒÒÒØ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ØØØ ÒÒØØÓÒ ÔÓÙÖ × ÓÓØ×
ÙØÓ××ÑÑÐÐÐÖÖ׸ Ø ÔÖÖÒÓÒ× ÐÐ × ÐÐ ÙÖÖ ÓÑÑØÖÖÕÙÙ ØØ ÚÓÒ
ÃÓÓ ¸ ÒÒÒ ÔÔÖ ÐÐ ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ ×ÙÙÙÓÓ× ÀÀÐÐÐ ÚÓÒ ÃÓÓ ´½½½¼¹½½¾¾µ Ò
ÚÚÒØ Ð³³ÒÚÒØØÓÒ Ù ØØÖÑÑ ÖÖÖØØÐÐ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º½½µº ÚÒØ ³ÓÓØØÒÒÖ Ð³³Ñ¹
ØÖÖ× ÖÖÑÑÑÑѸ ÒÓÙ× ×ÓÑÑÑ× ÔÔÖØØ× ³ÙÒ ØÖÖÖÒÒÐÐ ÕÙÙÐÐØØÖÖÐ
´ÖÖÔÖÖ××ÒØØ Ð³³ÜØÖÖÑÑØØ ÙÙ ÐÐ ÙÖÖ º½½µ ÔÙÙ׸ ØØ Ù ØÖÖÖÒ¹
ÐÐ ×Ø ×ÙÙÙÙÚÚ×× Ò ¿ ×××ÑÑÒØ× Ùܸ ÐÐ ×××ÑÑÒØ Ù ÑÑÐÐÐÙ ÚÚÚÒØ ÐÓÖ× ÐÐ
×× ³ÙÒ ÒÓÙÚÙ ØÖÖÖÒÒÐÐ ÕÙÙÐÐØØÖÖÐ ÓÒÒ ÔÐÙ× ÔÔØØØ ÕÙÙ ÐÐ ØÖÖÖÒÒÐÐ ÒÒØØØÐ
ÝÒØ ÓÑÑÑ ØØ ÐÐ ØØØÖ× Ù ØÖÖÖÒÒÐÐ ÒÒØØØи Ø ÐÐ ÔÖÓÓÓÓÓ ×Ø ÖÖÔÔØØ Ð³³³³Ò¹
ØØÕÙÙ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÙÒÒ ÙÖÖ ÓÑÑØÖÖÕÙÙ ØÖÖ× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ
º½½µº ü ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ØØÖÖØØÓÒ¸ ×× ×ÙÙ×ØØØÙÙÒØ Ø Ø ÕÙÙ ØØ Ù ØÖÖÖÒÒÐÐ ÒÒØØØÐ
ÐÓÒÒÙÙÙÖ 1¸ ÕÙÙØÖÖ ×××ÑÑÒØ× ØØØÐÐÐ 1/3 ´´´ÙÜÜÜÑÑ ÑÑÑÑ ÐÐ ÙÖÖ º½½µº
ÙÒ × ÔÔØØØ× ×××ÑÑÒØ× ÓÒÒÒ ÐÐÐÙ ÕÙÙØÖÖ ×××ÑÑÒØ× ØØØÐÐÐ 1/9 Ø
Ò×× ×ÙÙØغ ü ÐÐ m
ime
ØØÖÖØØÓÒ¸ ÐÐ ÙÖÖ ×Ø 4
m
×××ÑÑÒØ׸ ¹
ÙÒ ØØØÐÐÐ (1/3)
m
º ÄÄ ÒÒØØÓÒ ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ ÖÖÖØØÐÐ D ´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾¸
ÓÓ ÒÓÙ× ÒÓØÓÒ× ÕÙÙ → 0 ×Ø ÕÙÙÚÐÐÒØ Ø m → ∞µ ÒÓÙ× ÓÒÒÒ
D = lim
m→∞
ln(4
m
)
ln(3) m = ln(4)/ln(3) 1, 26...
´´º¾¾µ
ÄÄ ÑÑÒ××ÓÒ Ø ÓÓظ ÑÑÑÑ ³³ÔÔÔÖÖÒÒÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ¸ ×Ø ÐÐ ÙÒÒ ÖÖÖØØÓÒ
гÙÒÒØØ Ð³³³³³³ØØØ ÕÙÙÐÐÐÐÐØØØ ÕÙÙ º ÅÅÒÒÒÐÐÖÓØ ÐÙÙ ØØÖÖÖÙÙ ×Ø ××Ù
ÐÐ ÖÖÖÖÒÒ ÐÐØØÒÒ ÖØÙ׸ ÕÙÙ ×××ÒÒÒÒ ÖÖ×׸ ÖÖÖÖÙÐÐÐÖº ÄÄ ØÖÖÖÒÒÐÐ ËËËÖÔÔÒ×××
Ù ÒÓÑ Ù ÑÑØØØÑÑØØØØØÒ ÔÓÐÓÒÒÒ× ÏÐÐÛ Û ÖÖÒÒÒ×ÞÞÞ ËËËÖÔÔÒ××× ´½½½¾¹½½½½µ
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º½½µ ÑÓÒØÖÖ ÙÒÒ ÙØÖÖ ÖÖÖØØÐÐ ÐÐÐÖÖ ÓÒØ ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ ÚÚÙØ
ÒÚÚÖÓÒ 1.58º