º ÁÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ Ù
½½½
ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× ××ÙÙ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× ØÖÖ× ÔÖÓÓÓÓ× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÖÖ Ò××
ØÖÖ× ÚÚØØ ÐÐ ÑÑÑÓÓÖÖ ÐÐ ÔÖÓÜÜÑÑØØ ÒÒØØØÐÐ × ÙÜ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ׺
ÄÄ ×××ÔÔØØÓÒ ³³ÒÒÖÖÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÔÓÙÖ Ø ÓÒÒÒÒÖ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ
Ù ÑÓÙÚÑÑÒØ Ø ÓØØÕÙÙ Ò× ÙÒÒ ÖÖÖÖÓÒ ÒÒÒ Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ××
ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ×Ø ×ØÖÖÖÒØØ ÖÖ×ØØÖ ×ÙÖ ÙÒ ØØÖÖÖØØÙÖ¸ Ø ØØÖÖÖØØÙÖ ØÖÖÒÒÒ
´ÚÓÓÖ ÐÐ ×××ØØÓÒ ººµº ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ××ÑÑÐÐ Ô Ö Ó Ö ÓÒØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ú ÐÐ ÔÖÖ¹
ÑÑÑÖÖ ÔÖÓÔÖÖÖØØ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ Ù ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÙÜ ØÖÖÖÖØÓÓÖ× ××ÙÙ×
ÒÒØØØÐÐ× ÚÓÓ××ÒÒ× Ò× ÐÐ ØØÑÔ׺
Ò× ÙÒ ×ÔÔÔÔ ÙÜ ÑÑÒ××ÓÒ× ´ÙÒ ÔÐÐÒµ¸ г³³³ÖØ ÜÔÓÒÒÒØØØÐ × ØÖÖÖÖÖ¹
ØÓÓÖÖ× ÒÒ ÔÔÙØ ÔÔ× ×× ÔÖÓÓÙÙÖÖ Ð ×³³³³Ø ÐÐ ³ÙÒÒ ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ Ù ØØÖÑÑÒÒ×ÑÑ
××ÐÓÒ ÐÐÕÙÙÐ ÙÜ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× ××ÙÙ× ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× ÖÖÒØØ× ÒÒ
ÔÔÙÚÒØ ÔÔ× ×× ÖÓÓ××Öº ØÙÓÒ× ÙÒ ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒØ ÔÔÖ Ð³³³×ÙÖÖÖ ×ÙÔÔÓ×ÓÒ׸
Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ ÔÔÔ×׸ г³ÜÜ×ØØÒÒÒ ³ÙÒÒ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÔÓ×××××ÒØ ÙÒ ÔÓÓÒØ Ø ³ Ò ØØÖ¹
×××ØØÓÒ ÐÐйÑÑÑÑ Ø ÔÖÖÒÓÒ× ÔÓÙÖ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ÔÓÓÒØ ³³ÒØØÖ×××ØØÓÒ
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º½½µ Ð ×Ø ØØÖÑÑÒÒÖ Ô Ö Ó Ö ÔÔÖØØÖ ÔÓÓÒØ
г³ÚÓÐÙØØÓÒ ÙÐØØÖÖÖÙÖÖ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ´´ÖÖÒÒÒÒ ÖÓÓØØ Ó٠ij³ÒÒÒØØÖÑѹ
ÒÒØØÓÒ Ù ÙØÙÖ ÐÐÐРг³ÒÒÒØØÖÑÑÒÒØØÓÒ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ×Ø Ò ÓÒØÖÖÖÖÖØØÓÒ
ÐÐ ÔÖÖÒÒÒÔÔ Ù ØØÖÑÑÒÒ×ÑѺ ÓÒÒ ÔÓÙÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ØØÖÑÑÒÒ×Øظ ÑÑÑÑ
ÒÓÙ× ÒÒ ÔÓÙÚÓÒ× × ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× ÕÙ٠׳³³³ÖØØÒØ ØÖÓÔ ÐÐ× ÙÒÒ×
× ÙØÖÖ× Ö ÐÐ ØØÐÐÑÑÒØ Ø Ð Ù Ö Ö Ò ØØÖ×××ØØÓÒ¸ ××ØÙÙØØÓÒ ÒØØÖÖÖØØ
ÔÓÙÖ ÖÖ×ÔÔÔØØÖ ÐÐ ÐÓÓÓÕÙÙ Ù ØØÖÑÑÒÒ×ÑѺ
Ò ÖÖÚÚÒÒÒÒ¸ ÔÓÙÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ØÖÓÓ× ÖÖ× ÐÐÐÐÖØظ ÙÜ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ×
Ò× ÙÒ ×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×× ¿ ÑÑÒ××ÓÒ× ÓÒØ ØÓÙØØ ÐÐØØØÙÙÙ ÔÓÙÖ ÚÚØØÖ ××
ÖÓÓ××Ö ÐÐÐ ÔÔÙÚÚÒØ ÓÒÒ ×³³³³ÖØØÖ Ð³ÙÒÒ Ð³³ÙØÖÖº ÄÄ ÑÑÒ××ÓÒ
ÖÖØØÕÙ٠г³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×׸ ÔÔÖØØÖ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÙÒÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø
ÔÓ××××Ðи ×Ø ÐÐ ØÖÓÓ׺ ü ØØØÖÖ ³³ÜÜÑÔÐи ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÊÊ××ÐÐÖ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ
ººµ ÔÔÙØ ÒÒÒÒÒÖÖÖ ÐÐ ÐÐ ÖÖÒÒÒ ³ÙÒ Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓÐ
´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ººµº Ò Ø¸ г³ÕÙÙØØÓÒ Ù ×××ÓÒÒ ÖÖ Ò ØØÑÔ× Ù
×Ý×ØØÑÑ ÚÚÒ Ö ÈÓÐ ×Ø ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ¸
ÕÙÙ ÓÒÒÒÖÖ ÙÜ ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ø ÓÒÒ Ð³³ÑÔÓ×××××ÐÐØØ ³³ÚÓÓÖ
ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ Ò× × ÙÖÖ¸ ÑÑÑÑ ÐÐ ×××ÒÒÖÖÓ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ
×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ ×Ø ØÓÙØ ÖÖÖÖÑÑ ÙÒ
ÔÔÖÖÓÓÓ ×Ø ÔÖÓÓÓÓÓº Ò Ø¸ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×××
ÖÖÖÖÑÑ ÚÖÖÖØ ØÙÙÖ ÙÜ ØÓÙÖ× ×× ÖÖÖÖÖÑÑÖ ×ÙÖ ÐÐйÑÑÑѸ
Ø Ò³³×Ø ÔÓ××××ÐÐ ÕÙÙ ×× ÐÐÐ ×× ÖÓÓ×× ÐÐйÑÑÑѸ ××ØÙÙØØÓÒ ÔÖÓ××ÖÖØØ Ò
ÖÖÖ×ÓÒ Ù ÔÖÖÒÒÒÔÔ ØØÖÑÑÒÒ×Øغ
ÍÒ ÔÔÒÒÙÐÐ ××ÑÔÐÐ ´ÖÖÖÖ ÔÔÖ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ Ù ×××ÓÒÒ ÓÖÖÖÖµ ÙÜ
ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ ×Ø ×ÓÙÑÑ× ÙÜ ÑÑÑÑ× ÓÒØÖÖÖÒØØ× ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÚÚÒ
Ö ÈÓк ÅÅÅ× ×× Ð³ÙÒ × Ó×××ÐÐÐØØÙÖ× ×Ø ÜÜÜØØ ÔÔÖ ÙÒÒ ÓÖÖÖ ÜØØÖÖÖÙÖÖ
ÔÔÒÒÒÒØØ Ù ØØÑÔ׸ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÕÙÙÙÖØ ÙÒ ØÖÓÓ×××ÑÑ ÖÖ ÐÐÐÐÖØظ ÒÒÒÖÒÒ
ÔÔÖ ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐк ÈÓÙÖ Ð³³ÐÐÙ×ØÖÖÖ¸ ÓÒ××××ÖÓÒ× ÐÐ × ³ÙÒÒ ÜÜÜØØØØÓÒ
××ÒÙ×ÓÓÓÓÐи ÓÓ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ÔÖÖÒÒ ÐÐ ÓÖÑÑ ¨
θ+ ˙
θ+sin θ = A cos(ωt)¸ Ó
A Ø ω ×ÓÒØ Ö × Ô Ø Ú Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ø ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ Ð³³ÜÜÜØØØØÓÒ ÜØØÖÖÖÙÖÖº
ÁÐ ÔÖÖÖÖ××Ö ÕÙÙ ÐÐ× ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× ÔÔÙÚÒØ Ø Ú ÒØÙÙÐÐÐÑÑÒØ ×× ÖÖÔÔÖÓÓÓÓÖ Ù ÓÙÖ×
Ù ØØÑÔ× ÚÒØ ×³³³³ÖØØÖ ÒÓÙÚÚÚÙº
½½½
ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× ××ÙÙ× ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× ØÖÖ× ÔÖÓÓÓÓ× ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÔÔÖÖ Ò××
ØÖÖ× ÚÚØØ ÐÐ ÑÑÑÓÓÖÖ ÐÐ ÔÖÓÜÜÑÑØØ ÒÒØØØÐÐ × ÙÜ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ׺
ÄÄ ×××ÔÔØØÓÒ ³³ÒÒÖÖÖÖ Ù ×Ý×ØØÑÑ ÔÓÙÖ Ø ÓÒÒÒÒÖ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ
Ù ÑÓÙÚÑÑÒØ Ø ÓØØÕÙÙ Ò× ÙÒÒ ÖÖÖÖÓÒ ÒÒÒ Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ××
ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ×Ø ×ØÖÖÖÒØØ ÖÖ×ØØÖ ×ÙÖ ÙÒ ØØÖÖÖØØÙÖ¸ Ø ØØÖÖÖØØÙÖ ØÖÖÒÒÒ
´ÚÓÓÖ ÐÐ ×××ØØÓÒ ººµº ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ××ÑÑÐÐ Ô Ö Ó Ö ÓÒØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ú ÐÐ ÔÖÖ¹
ÑÑÑÖÖ ÔÖÓÔÖÖÖØØ ÖÖÖØØÖÖ×ØØÕÙÙ Ù ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÙÜ ØÖÖÖÖØÓÓÖ× ××ÙÙ×
ÒÒØØØÐÐ× ÚÓÓ××ÒÒ× Ò× ÐÐ ØØÑÔ׺
Ò× ÙÒ ×ÔÔÔÔ ÙÜ ÑÑÒ××ÓÒ× ´ÙÒ ÔÐÐÒµ¸ г³³³ÖØ ÜÔÓÒÒÒØØØÐ × ØÖÖÖÖÖ¹
ØÓÓÖÖ× ÒÒ ÔÔÙØ ÔÔ× ×× ÔÖÓÓÙÙÖÖ Ð ×³³³³Ø ÐÐ ³ÙÒÒ ÓÒ××ÕÙÙÒÒÒ Ù ØØÖÑÑÒÒ×ÑÑ
××ÐÓÒ ÐÐÕÙÙÐ ÙÜ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× ××ÙÙ× ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ× ÖÖÒØØ× ÒÒ
ÔÔÙÚÒØ ÔÔ× ×× ÖÓÓ××Öº ØÙÓÒ× ÙÒ ÖÖÖ×ÓÒÒÒÑÑÒØ ÔÔÖ Ð³³³×ÙÖÖÖ ×ÙÔÔÓ×ÓÒ׸
Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ ÔÔÔ×׸ г³ÜÜ×ØØÒÒÒ ³ÙÒÒ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ÔÓ×××××ÒØ ÙÒ ÔÓÓÒØ Ø ³ Ò ØØÖ¹
×××ØØÓÒ ÐÐйÑÑÑÑ Ø ÔÖÖÒÓÒ× ÔÓÙÖ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒØØØÐÐ ÔÓÓÒØ ³³ÒØØÖ×××ØØÓÒ
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º½½µ Ð ×Ø ØØÖÑÑÒÒÖ Ô Ö Ó Ö ÔÔÖØØÖ ÔÓÓÒØ
г³ÚÓÐÙØØÓÒ ÙÐØØÖÖÖÙÖÖ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ´´ÖÖÒÒÒÒ ÖÓÓØØ Ó٠ij³ÒÒÒØØÖÑѹ
ÒÒØØÓÒ Ù ÙØÙÖ ÐÐÐРг³ÒÒÒØØÖÑÑÒÒØØÓÒ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ ×Ø Ò ÓÒØÖÖÖÖÖØØÓÒ
ÐÐ ÔÖÖÒÒÒÔÔ Ù ØØÖÑÑÒÒ×ÑѺ ÓÒÒ ÔÓÙÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ØØÖÑÑÒÒ×Øظ ÑÑÑÑ
ÒÓÙ× ÒÒ ÔÓÙÚÓÒ× × ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× ÕÙ٠׳³³³ÖØØÒØ ØÖÓÔ ÐÐ× ÙÒÒ×
× ÙØÖÖ× Ö ÐÐ ØØÐÐÑÑÒØ Ø Ð Ù Ö Ö Ò ØØÖ×××ØØÓÒ¸ ××ØÙÙØØÓÒ ÒØØÖÖÖØØ
ÔÓÙÖ ÖÖ×ÔÔÔØØÖ ÐÐ ÐÓÓÓÕÙÙ Ù ØØÖÑÑÒÒ×ÑѺ
Ò ÖÖÚÚÒÒÒÒ¸ ÔÓÙÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ØÖÓÓ× ÖÖ× ÐÐÐÐÖØظ ÙÜ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ×
Ò× ÙÒ ×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×× ¿ ÑÑÒ××ÓÒ× ÓÒØ ØÓÙØØ ÐÐØØØÙÙÙ ÔÓÙÖ ÚÚØØÖ ××
ÖÓÓ××Ö ÐÐÐ ÔÔÙÚÚÒØ ÓÒÒ ×³³³³ÖØØÖ Ð³ÙÒÒ Ð³³ÙØÖÖº ÄÄ ÑÑÒ××ÓÒ
ÖÖØØÕÙ٠г³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×׸ ÔÔÖØØÖ ÐÐÕÙÙÐÐÐ ÙÒÒ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ×Ø
ÔÓ××××Ðи ×Ø ÐÐ ØÖÓÓ׺ ü ØØØÖÖ ³³ÜÜÑÔÐи ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÊÊ××ÐÐÖ ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ
ººµ ÔÔÙØ ÒÒÒÒÒÖÖÖ ÐÐ ÐÐ ÖÖÒÒÒ ³ÙÒ Ó×××ÐÐÐØØÙÖ ÚÒ Ö ÈÓÐ
´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ººµº Ò Ø¸ г³ÕÙÙØØÓÒ Ù ×××ÓÒÒ ÖÖ Ò ØØÑÔ× Ù
×Ý×ØØÑÑ ÚÚÒ Ö ÈÓÐ ×Ø ÙÜ ÕÙÙØØÓÒ× Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ¸
ÕÙÙ ÓÒÒÒÖÖ ÙÜ ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ø ÓÒÒ Ð³³ÑÔÓ×××××ÐÐØØ ³³ÚÓÓÖ
ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ Ò× × ÙÖÖ¸ ÑÑÑÑ ÐÐ ×××ÒÒÖÖÓ ³ÙÒÒ ÙÖÖÖØØÓÒ
×ÓÙ×¹¹¹ÖÑÓÒÒÕÙÙ ×Ø ØÓÙØ ÖÖÖÖÑÑ ÙÒ
ÔÔÖÖÓÓÓ ×Ø ÔÖÓÓÓÓÓº Ò Ø¸ ÐÐ ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ Ò× Ð³³×ÔÔÔÔ ÔÔÔ×××
ÖÖÖÖÑÑ ÚÖÖÖØ ØÙÙÖ ÙÜ ØÓÙÖ× ×× ÖÖÖÖÖÑÑÖ ×ÙÖ ÐÐйÑÑÑѸ
Ø Ò³³×Ø ÔÓ××××ÐÐ ÕÙÙ ×× ÐÐÐ ×× ÖÓÓ×× ÐÐйÑÑÑѸ ××ØÙÙØØÓÒ ÔÖÓ××ÖÖØØ Ò
ÖÖÖ×ÓÒ Ù ÔÖÖÒÒÒÔÔ ØØÖÑÑÒÒ×Øغ
ÍÒ ÔÔÒÒÙÐÐ ××ÑÔÐÐ ´ÖÖÖÖ ÔÔÖ ÙÒÒ ÕÙÙØØÓÒ Ù ×××ÓÒÒ ÓÖÖÖÖµ ÙÜ
ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ ×Ø ×ÓÙÑÑ× ÙÜ ÑÑÑÑ× ÓÒØÖÖÖÒØØ× ÕÙÙ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÚÚÒ
Ö ÈÓк ÅÅÅ× ×× Ð³ÙÒ × Ó×××ÐÐÐØØÙÖ× ×Ø ÜÜÜØØ ÔÔÖ ÙÒÒ ÓÖÖÖ ÜØØÖÖÖÙÖÖ
ÔÔÒÒÒÒØØ Ù ØØÑÔ׸ ÐÐ ×Ý×ØØÑÑ ÕÙÙÙÖØ ÙÒ ØÖÓÓ×××ÑÑ ÖÖ ÐÐÐÐÖØظ ÒÒÒÖÒÒ
ÔÔÖ ÐÐ ÚÖÖÖÖÐÐ ØØÑÔÓÖÖÐÐк ÈÓÙÖ Ð³³ÐÐÙ×ØÖÖÖ¸ ÓÒ××××ÖÓÒ× ÐÐ × ³ÙÒÒ ÜÜÜØØØØÓÒ
××ÒÙ×ÓÓÓÓÐи ÓÓ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ Ù ÔÔÒÒÙÐÐ ÔÖÖÒÒ ÐÐ ÓÖÑÑ ¨
θ+ ˙
θ+sin θ = A cos(ωt)¸ Ó
A Ø ω ×ÓÒØ Ö × Ô Ø Ú Ð³³ÑÔÐÐØÙÙÙ Ø ÐÐ ÔÙÐ××ØØÓÒ Ð³³ÜÜÜØØØØÓÒ ÜØØÖÖÖÙÖÖº
ÁÐ ÔÖÖÖÖ××Ö ÕÙÙ ÐÐ× ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× ÔÔÙÚÒØ Ø Ú ÒØÙÙÐÐÐÑÑÒØ ×× ÖÖÔÔÖÓÓÓÓÖ Ù ÓÙÖ×
Ù ØØÑÔ× ÚÒØ ×³³³³ÖØØÖ ÒÓÙÚÚÚÙº