º ÁÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ Ù
½½¿
ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ×ÙÙÙ×××ÚÚ× Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ØØÒÒ ÚÚÖ× ÞÞÖÓ ÖÖÖÖÑÑ ÔÔÖÖÓÓÓ Ò¹
ÒÒÒ ÖÖØ ÙÒÒ ××ØÙÙØØÓÒ Ó× Ø ÒÒÒ ´´´´µ ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ × ÖÖÒÒÒ× ÒØÖÖ
ÐÐ× ÚÐÐÙÖ× a ÙÜ ÙÖÖÖØØÓÒ× ×ÙÙÙÙ×××ÚÚ× ×× ØÖÓÙÚ ÕÙÙ ÓÓ×
ÖÖÖÙÙØ ³ÙÒ ØØÙÖ ÔÖÖ×ÕÙÙ ÍÒÒ ÒÒÐÝ×× ÔÓÙ×××× ÓÒÒÙÙØ Ù ÖÖ×ÙÐØØØ
×ÙÙÚÒØ Ø
lim
n→∞
a n − a n−1
a n+1 − a n
= 4, 669201609...
´´º¾¾µ
ØØÙÖ ×Ø Ò Ø ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÙÒÒÚÚÖ××и Ù ØØØÐ
ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ f ÓÒ××××ÖÖÖº ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÚÚÖÖÖÖÖ
ÔÔÖØØÖ × ÖÖ×ÙÐØØØ× ÐÐ ØØØÐÐ º½ ÕÙÙ¸ ÔÓÙÖ ÐÐ× ÔÖÖÑÑÑÖÖ× ØØÖÖØØÓÒ× n ≤ 32¸
ÐÐ ØØÙÖ ×Ø ÕÙÙ××ÑÑÒØ ÓÒ×ØØÒØ Ø Ø Ô Ö Ó Ù ÖÖ×ÙÐØØØ ×ÝÑÔØÓØØÕÙÙ
´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µº
º½¾ºº ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ Ø ÒÓØØÓÒ
³³ÙØÓ××ÑÑÐÐÖÖØØ
ÊÊÔÖÖ××ÒØÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒظ Ò× ÙÒ ÖÖÑÑÑ ÔÓÖØØÒØ Ò ×××××× ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
ÓÒØÖÖÐÐ a¸ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ x n+1 = f (x n ) =
4ax n (1 − x n ) ´ÚÓÓÖ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ º½¾º½µ ÓÓØØÒÙ× Ù ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒØ ´ Ú ÓÓÖ
ÙÖÖ º½¿µº ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ××ÙÙÐ a 2 ´a < a 2 =
3/4µ¸ г³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f (x) ×ÔÓ×× ³ÙÒ ÔÓÓÒØ ÜÜ ÙÒÒÕÙÙ ´××Ò× ÓÑÔØØÖ Ð³ÓÖÖÖ¹
ÒÒµ µ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÔÓÓÒØ ÜÜ x
∗
(a) ×Ø ÓÒÒØØÓÒ aº ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÚÐÐÙÖ Ù
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ a ´a > a 2 µ¸ ÐÐ ÖÖÒÒ Ù ÔÓÓÒØ Ø Ü
x
∗
(a) ×× ×××ÒÒÒ Ò ÙÜ ×ØØÒÒØØ× ³³×Ø ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÙÖÖÖØØÓÒ ¹
ÔÔÖÖÓÓÓº ÈÓÙÖ ÙÒÒ ÚÐÐÙÖ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ ÐÐ ÚÐÐÙÖ
××ÙÙÐ a 4 ´a > a 4 µ¸ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×× ÖÖÔÔØØ ÔÓÙÖ × ÙÜ Ø
×××ÒÒÖÖÓ ×× ÖÖÔÔØØ ÔÓÙÖ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ××ÙÙÐ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖººº
ÄÄ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ ´´´ÙÖÖ º½¿µ ÑÓÒØÖÖ ÐÐ ÖÖØÖÖÖÖ×××¹
ÑÑÒØ ÐÐ ÖÖÒÒÒ ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ×ÙÙÙÙ×××ÚÚ× Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ a
Ù×ÕÙ³³Ù ÔÓÓÒØ ÒÒ Ù ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒØ a = a ∞ =
0, 892486418....º ü ×ØØØظ Ð ÜÜ×ØØ Ò ÔÖÖÒÒÒÔÔ ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÒÒÒÒ ÔÓÓÒØ×
ÜÜ× ´´××ÓÓÓÓ× ÓÒÒ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ f ÙÒ ÒÓÑÖÖ ÒÒÒÒ ÓÓ× f
∞
µº
ÄÄ ÔÔÖÖÓÓÓ ØØÒÒ ÐÓÖ× ÚÖ× Ð³³ÒÒÒÒ¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÕÙÙ ÕÙÙ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ØØÖÖØØÓÒ
ÒÒ ÓÒÒÒ ÑÑÑ× ÐÐ ÑÑÑÑ ÔÓÓÒغ ÓÒ×ØØØÓÒ× ÔÐÙ× ÕÙ³ÙÒ ÞÓÓÑ ØÙÙ ×ÙÖ
ÙÒÒ ÔÔØØØØ ÖÖÖÖÓÒ ××ØÙÙÙ Ò× ØØØ ÞÓÒÒ ÖÖÖÓÒÒÒ ÙÒ ÖÖÑÑÑ ××ÑÑÐÐÐÖÖ ´ÚÓÓÖ
ÙÖÖ º½¿µ µ ÐÐ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø Ø ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖº
º½¿ ÑÑÒ××ÓÒ ÖÖØØÕÙÙ ÔÓÙÖÓÓØØÒÒÖ Ù Ó×
ÄÄ Ó× ×× ÖÖÖØØÖÖ×× ÓÒÒ ÔÔÖ ÙÒÒ ØÖÖ× ÖÖÒÒÒ ××Ò××××ÐÐØØ ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ×
ÒÒØØØÐÐ× ØØØ ××Ò××××ÐÐØØ ×³³ÐÐÙ×ØÖÖ ÔÔÖ ÐÐ ÒØÖÖ ÙÜ
ÖÖ×ÙÐØØØ ÒÒ ÔÔÙØ ØÖÖ ÙÙØ ³ÙÒ ÐÐÙÐ ÒÙÑÑÖÖÕÙÙ ÖÖÖØ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÓÓÓ ×Ø ÒÒÒÒÒ
ÐÐ ÑÓÒ×ØÖÖØØÓÒ ØØØÓÖÖÕÙÙ Ò³³×Ø ÔÔ× ÖÖØÖÖÒ×ÔÓ××× ¸ Ö ÐÐÐ ÔÔ××× ÐÐ ÖÖ ÑÑØØØÑÑØØÕÙÙ
Ø ÓÙÚÖÖÖÖº
½½¿
ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ×ÙÙÙ×××ÚÚ× Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ØØÒÒ ÚÚÖ× ÞÞÖÓ ÖÖÖÖÑÑ ÔÔÖÖÓÓÓ Ò¹
ÒÒÒ ÖÖØ ÙÒÒ ××ØÙÙØØÓÒ Ó× Ø ÒÒÒ ´´´´µ ÐÐ ÖÖÔÔÓÖØ × ÖÖÒÒÒ× ÒØÖÖ
ÐÐ× ÚÐÐÙÖ× a ÙÜ ÙÖÖÖØØÓÒ× ×ÙÙÙÙ×××ÚÚ× ×× ØÖÓÙÚ ÕÙÙ ÓÓ×
ÖÖÖÙÙØ ³ÙÒ ØØÙÖ ÔÖÖ×ÕÙÙ ÍÒÒ ÒÒÐÝ×× ÔÓÙ×××× ÓÒÒÙÙØ Ù ÖÖ×ÙÐØØØ
×ÙÙÚÒØ Ø
lim
n→∞
a n − a n−1
a n+1 − a n
= 4, 669201609...
´´º¾¾µ
ØØÙÖ ×Ø Ò Ø ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÙÒÒÚÚÖ××и Ù ØØØÐ
ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ f ÓÒ××××ÖÖÖº ÆÓØÓÒ× ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÚÚÖÖÖÖÖ
ÔÔÖØØÖ × ÖÖ×ÙÐØØØ× ÐÐ ØØØÐÐ º½ ÕÙÙ¸ ÔÓÙÖ ÐÐ× ÔÖÖÑÑÑÖÖ× ØØÖÖØØÓÒ× n ≤ 32¸
ÐÐ ØØÙÖ ×Ø ÕÙÙ××ÑÑÒØ ÓÒ×ØØÒØ Ø Ø Ô Ö Ó Ù ÖÖ×ÙÐØØØ ×ÝÑÔØÓØØÕÙÙ
´´ÕÙÙØØÓÒ º¾¾µº
º½¾ºº ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ Ø ÒÓØØÓÒ
³³ÙØÓ××ÑÑÐÐÖÖØØ
ÊÊÔÖÖ××ÒØÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒظ Ò× ÙÒ ÖÖÑÑÑ ÔÓÖØØÒØ Ò ×××××× ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
ÓÒØÖÖÐÐ a¸ ÐÐ× ÔÓÓÒØ× ÜÜ× Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ ÐÓÓÓ×ØØÕÙÙ x n+1 = f (x n ) =
4ax n (1 − x n ) ´ÚÓÓÖ ×ÓÙ×¹×××ØØÓÒ º½¾º½µ ÓÓØØÒÙ× Ù ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒØ ´ Ú ÓÓÖ
ÙÖÖ º½¿µº ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ××ÙÙÐ a 2 ´a < a 2 =
3/4µ¸ г³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f (x) ×ÔÓ×× ³ÙÒ ÔÓÓÒØ ÜÜ ÙÒÒÕÙÙ ´××Ò× ÓÑÔØØÖ Ð³ÓÖÖÖ¹
ÒÒµ µ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÔÓÓÒØ ÜÜ x
∗
(a) ×Ø ÓÒÒØØÓÒ aº ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÚÐÐÙÖ Ù
ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ a ´a > a 2 µ¸ ÐÐ ÖÖÒÒ Ù ÔÓÓÒØ Ø Ü
x
∗
(a) ×× ×××ÒÒÒ Ò ÙÜ ×ØØÒÒØØ× ³³×Ø ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ÙÖÖÖØØÓÒ ¹
ÔÔÖÖÓÓÓº ÈÓÙÖ ÙÒÒ ÚÐÐÙÖ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a ×ÙÔÔÖÖÖÙÖÖ ÐÐ ÚÐÐÙÖ
××ÙÙÐ a 4 ´a > a 4 µ¸ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ×× ÖÖÔÔØØ ÔÓÙÖ × ÙÜ Ø
×××ÒÒÖÖÓ ×× ÖÖÔÔØØ ÔÓÙÖ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ××ÙÙÐ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖººº
ÄÄ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ ´´´ÙÖÖ º½¿µ ÑÓÒØÖÖ ÐÐ ÖÖØÖÖÖÖ×××¹
ÑÑÒØ ÐÐ ÖÖÒÒÒ ÙÜ ÚÚÐÐÙÖ× ×ÙÙÙÙ×××ÚÚ× Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ ÓÒØÖÖÐÐ a
Ù×ÕÙ³³Ù ÔÓÓÒØ ÒÒ Ù ÔÔÖÖÖÖÖÔÔÔ ÔÖÖÖÖÖÖÒØ a = a ∞ =
0, 892486418....º ü ×ØØØظ Ð ÜÜ×ØØ Ò ÔÖÖÒÒÒÔÔ ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÒÒÒÒ ÔÓÓÒØ×
ÜÜ× ´´××ÓÓÓÓ× ÓÒÒ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ f ÙÒ ÒÓÑÖÖ ÒÒÒÒ ÓÓ× f
∞
µº
ÄÄ ÔÔÖÖÓÓÓ ØØÒÒ ÐÓÖ× ÚÖ× Ð³³ÒÒÒÒ¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÕÙÙ ÕÙÙ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ØØÖÖØØÓÒ
ÒÒ ÓÒÒÒ ÑÑÑ× ÐÐ ÑÑÑÑ ÔÓÓÒغ ÓÒ×ØØØÓÒ× ÔÐÙ× ÕÙ³ÙÒ ÞÓÓÑ ØÙÙ ×ÙÖ
ÙÒÒ ÔÔØØØØ ÖÖÖÖÓÒ ××ØÙÙÙ Ò× ØØØ ÞÓÒÒ ÖÖÖÓÒÒÒ ÙÒ ÖÖÑÑÑ ××ÑÑÐÐÐÖÖ ´ÚÓÓÖ
ÙÖÖ º½¿µ µ ÐÐ ÖÖÑÑÑ ÙÖÖÖØØÓÒ ×Ø Ø ÙØÓ¹××ÑÑÐÐÐÖÖº
º½¿ ÑÑÒ××ÓÒ ÖÖØØÕÙÙ ÔÓÙÖÓÓØØÒÒÖ Ù Ó×
ÄÄ Ó× ×× ÖÖÖØØÖÖ×× ÓÒÒ ÔÔÖ ÙÒÒ ØÖÖ× ÖÖÒÒÒ ××Ò××××ÐÐØØ ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ×
ÒÒØØØÐÐ× ØØØ ××Ò××××ÐÐØØ ×³³ÐÐÙ×ØÖÖ ÔÔÖ ÐÐ ÒØÖÖ ÙÜ
ÖÖ×ÙÐØØØ ÒÒ ÔÔÙØ ØÖÖ ÙÙØ ³ÙÒ ÐÐÙÐ ÒÙÑÑÖÖÕÙÙ ÖÖÖØ ÔÙÙ×ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÓÓÓ ×Ø ÒÒÒÒÒ
ÐÐ ÑÓÒ×ØÖÖØØÓÒ ØØØÓÖÖÕÙÙ Ò³³×Ø ÔÔ× ÖÖØÖÖÒ×ÔÓ××× ¸ Ö ÐÐÐ ÔÔ××× ÐÐ ÖÖ ÑÑØØØÑÑØØÕÙÙ
Ø ÓÙÚÖÖÖÖº