º ÁÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ Ù
½½½
100
200
300
400
500
t
-10
-5
0
5
10
15
20
X(t)
ÙÖÖ º¾ ü ÙÙ¸ ÓÒ ÑÓÒØÖÖ X(t) Ò ÓÒÒØØÓÒ t¸ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³Õº´´ººµº ÄÄ
׳³ÔÔÔÖÖÒØØ ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÓØØÕÙÙº ü ÖÓÓØظ ÓÒ ÜÔÐÐÕÙÙ ÐÐ ÔÖÖÒÒÒÔÔ
ÕÙÙ ÓÒ×××ØØ ÖÖÐÐÚÚÖ ÐÐ× ÑÑÜÜÑÑ× n Ø n + 1 Ù ×××ÒÒÐ ÓØØÕÙÙ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ
ÖÖÔÔÔ ÐÐ ÙÖÖ º¿º
ÓÓ ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐÐ α¸ β Ø γ ×ÓÒØ × ÖÖÖÐÐÐ׺ ÈÓÙÖ Ö¹
ØØØÒÒ× ÚÚÐÐÙÖ× ÐÐÐ×¹¹¹¸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ α = β = 0, 2 ; γ = 5, 7¸ Ð ³ Ò ØØØÖÖØØÓÒ
ÒÙÑÑÖÖÕÙ٠г³³³³ ³ÙÒ ÓÖÖÖÒÒØØÙÖ ÑÓÒØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× X(t)¸ Y (t) Ø Z(t)
ÓÒØ ÙÒ Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ØØÑÔ× t¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÕÙÙ ÐÐ×
ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÔÔ×××ÒØ Ô Ö × ÑÑÜÜÑÑ Ø × ÑÑÒÒÑÑ ÓÒ ÖÖÖÖÙÐÐÐÖÖ ÚÓÓÖ ÐÐ
ÖÖÔÔÔ ÙÙ ÐÐ ÙÖÖ º¾ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÐÐÙ×ØÖÖØØÓÒ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÐÐ
ÚÚÖÖÖÖÐÐ Xº ×××ÒÓÒ× ÔÔÖ x n ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù n
ÑÑ
ÑÑÜÜÑÙÑ Ø ÔÔÖ t n г³Ò×ØØÒØ
ÓÓ ÑÑÜÜÑÙÑ ØØ ÓÓØØÒÙ¸ Ø ÔÔÖ x n+1 ¸ ÐÐ ÑÑÜÜÑÙÑ ×ÙÙÚ ÓÓØØÒÙ Ù
ØØÑÔ× t n+1 ´ÚÓÓÖ ÐÐ ××ÑÑ ÖÓÓØØ ÐÐ ÙÖÖ º¾µº ÒÒ××ÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ
ÐÐ ××ÖÖÖ × ÓÙÔÐÐ× [x n , x n+1 ] ÔÓÙÖ n = 1, 2, 3...¸ ÔÓÙÖ ÐÐ× ÖÖÔÖÖ××ÒØØÖ Ò×
ÙÒ ÔÐÐÒ ´x n , x n+1 µ ´ Ú ÓÓÖ ÙÖÖ º¿µº Ò ÔÖÖÑÑÑÖÖ ØØØ
ÔÔÙØ ØÖÖ ÓÒ××××ÖÖÖ ÓÑÑÑ ÙÒÒ ÔÔÖÖÖÓÐÐ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÜÔÖÖÑÑÖ Ð³³³³³
³ÙÒ ÒÒÒÑÑÒØ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÕÙÙØ ÓÑÑÑ x n+1 = 4ax n (1 − x n )º Ò Ø¸
г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÑÑØØØÑÑØØÕÙÙ ÐÐ ÖÖÖÙÖÖÖÒÒÒ ÑÔÓÖØØ ÔÔÙ ¸ ÔÔÖØØÖ Ù ÑÓ¹
ÑÑÒØ ÓÓ¸ Ò× Ð³³ÒØØÖÚÚÐÐÐ ÓÒ××××ÖÖ¸ ÐÐ ÖÖØ ÙÒÒ ÔÓÖØØÓÒ
ÔÔÖÖÖÓÐк Ò×׸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÒÓÙ× ÔÓÙÖÖÖÓÒ× ÓÒ××××ÖÖÖ ÐÐ ÐÓÓ ÖÖÖÙÖÖÖÒÒÒ
x n+1 = a sin(2πx n )¸ ¸ Ú x n ∈ [0, 1]¸ Ò× ÐÐ ÑÑ×ÙÖÖ ÓÓ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ a sin(2πx n )
×Ø ÓÖÑÑ ÔÔÖÖÖÓÐÐÕÙÙ Ò× Ð³³ÒØØÖÚÚÐÐÐ [0, 1]
¾
º
ÄÄ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ ÖÖÔÔÔÕÙÙ × ÓÙÔÐÐ× [x n , x n+1 ] Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ ´x n , x n+1 µ
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¿µ ÙÜ ÖÖÑÑÖÕÙÙ× ´´µ Ò ÔÔØ Ù Ø ÕÙÙ X(t) ×ÓÓØ
ÖÖÖØØÕÙÙ¸ ÐÐ ÓÙÖÖÖ x n+1 = f (x n ) ÒÒ Ð³³×Ø ÔÔ× Ù ØÓÙØ ÐÐÐ ×Ø ÑÑÑÑ ØÓÒ¹
ÒÒÑÑÑÒØ ÖÖÖÙÐÐÐÖÖ ÆÓÙ× Ò×× Ù Ò × ÔÖÖÑÑÑÖ× ÖÖ×ÙÐØØØ× ×××¹
ÒÒÒØ× ÖÖÖÖÖÖ Ð³³ÔÔÔÖÖÒÒÒ Ù Ó׸ ×× Ú ÙÒÒ ÖØØØÒÒ
ÖÖÖÙÐÐÖÖØغ Ò Ø¸ ØØØ ÖÖÖÙÐÐÖÖØØ ØÖÖÖÙÙØ ÐÐ ØØÖÑÑÒÒ×ÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓ¹
¾ ÆÓÙ× ÓÒ×××ÐÐÓÒ× Ù ÐÐÐØØÙÖ ÔÖÖØØÕÙÙÖ Ð³³ÜÜÖÖÖÖÖ ×ÙÙÚÒØ ÓÔØØÖ ÐÐ ÐÓÓ ÖÖÖÙÖÖÖÒÒÒ
Ò x n+1 = a sin(2πxn) ÔÓÙÖ ÖÖÖÖÖÖÖ ØÓÙØØ× ÐÐ× ÒÒÐÝ××× Ø Ò×× ÓÒ×ØØØØÖ ÕÙÙ ÐÐ×
ÖÖ×ÙÐØØØ× ÓÓØØÒÙ× ÚÚÚ ØØØ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÜÔÖÖ×××ÓÒ ×ÓÒØ ××ÑÑÐÐÐÖÖ× ÙÜ ÖÖ×ÙÐØØØ× ××Ù× Ð³³ÒÒÐÝ××
ÐÐ ÐÓÓ Ò x n+1 = 4axn(1 − xn)º
½½½
100
200
300
400
500
t
-10
-5
0
5
10
15
20
X(t)
ÙÖÖ º¾ ü ÙÙ¸ ÓÒ ÑÓÒØÖÖ X(t) Ò ÓÒÒØØÓÒ t¸ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³Õº´´ººµº ÄÄ
׳³ÔÔÔÖÖÒØØ ÙÒ ÖÖÖÖÑÑ ÓØØÕÙÙº ü ÖÓÓØظ ÓÒ ÜÔÐÐÕÙÙ ÐÐ ÔÖÖÒÒÒÔÔ
ÕÙÙ ÓÒ×××ØØ ÖÖÐÐÚÚÖ ÐÐ× ÑÑÜÜÑÑ× n Ø n + 1 Ù ×××ÒÒÐ ÓØØÕÙÙ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÐÐ
ÖÖÔÔÔ ÐÐ ÙÖÖ º¿º
ÓÓ ÐÐ× ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐÐ α¸ β Ø γ ×ÓÒØ × ÖÖÖÐÐÐ׺ ÈÓÙÖ Ö¹
ØØØÒÒ× ÚÚÐÐÙÖ× ÐÐÐ×¹¹¹¸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐÐ α = β = 0, 2 ; γ = 5, 7¸ Ð ³ Ò ØØØÖÖØØÓÒ
ÒÙÑÑÖÖÕÙ٠г³³³³ ³ÙÒ ÓÖÖÖÒÒØØÙÖ ÑÓÒØÖÖ ÕÙÙ ÐÐ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ× X(t)¸ Y (t) Ø Z(t)
ÓÒØ ÙÒ Ò ÓÒÒØØÓÒ Ù ØØÑÔ× t¸ ³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÕÙÙ ÐÐ×
ÚÚÖÖÖÖÐÐ× ÔÔ×××ÒØ Ô Ö × ÑÑÜÜÑÑ Ø × ÑÑÒÒÑÑ ÓÒ ÖÖÖÖÙÐÐÐÖÖ ÚÓÓÖ ÐÐ
ÖÖÔÔÔ ÙÙ ÐÐ ÙÖÖ º¾ ÔÓÙÖ ÙÒÒ ÐÐÙ×ØÖÖØØÓÒ Ð³³ÚÓÐÙØØÓÒ ÐÐ
ÚÚÖÖÖÖÐÐ Xº ×××ÒÓÒ× ÔÔÖ x n ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ Ù n
ÑÑ
ÑÑÜÜÑÙÑ Ø ÔÔÖ t n г³Ò×ØØÒØ
ÓÓ ÑÑÜÜÑÙÑ ØØ ÓÓØØÒÙ¸ Ø ÔÔÖ x n+1 ¸ ÐÐ ÑÑÜÜÑÙÑ ×ÙÙÚ ÓÓØØÒÙ Ù
ØØÑÔ× t n+1 ´ÚÓÓÖ ÐÐ ××ÑÑ ÖÓÓØØ ÐÐ ÙÖÖ º¾µº ÒÒ××ÓÒ× ÑÑÑÒØØÒÒÒØ
ÐÐ ××ÖÖÖ × ÓÙÔÐÐ× [x n , x n+1 ] ÔÓÙÖ n = 1, 2, 3...¸ ÔÓÙÖ ÐÐ× ÖÖÔÖÖ××ÒØØÖ Ò×
ÙÒ ÔÐÐÒ ´x n , x n+1 µ ´ Ú ÓÓÖ ÙÖÖ º¿µº Ò ÔÖÖÑÑÑÖÖ ØØØ
ÔÔÙØ ØÖÖ ÓÒ××××ÖÖÖ ÓÑÑÑ ÙÒÒ ÔÔÖÖÖÓÐÐ ÕÙÙ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ÜÔÖÖÑÑÖ Ð³³³³³
³ÙÒ ÒÒÒÑÑÒØ ÚÚÖÖÖÖÐÐ ÕÙÙØ ÓÑÑÑ x n+1 = 4ax n (1 − x n )º Ò Ø¸
г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÑÑØØØÑÑØØÕÙÙ ÐÐ ÖÖÖÙÖÖÖÒÒÒ ÑÔÓÖØØ ÔÔÙ ¸ ÔÔÖØØÖ Ù ÑÓ¹
ÑÑÒØ ÓÓ¸ Ò× Ð³³ÒØØÖÚÚÐÐÐ ÓÒ××××ÖÖ¸ ÐÐ ÖÖØ ÙÒÒ ÔÓÖØØÓÒ
ÔÔÖÖÖÓÐк Ò×׸ ÔÔÖ ÜÜÑÔÐи ÒÓÙ× ÔÓÙÖÖÖÓÒ× ÓÒ××××ÖÖÖ ÐÐ ÐÓÓ ÖÖÖÙÖÖÖÒÒÒ
x n+1 = a sin(2πx n )¸ ¸ Ú x n ∈ [0, 1]¸ Ò× ÐÐ ÑÑ×ÙÖÖ ÓÓ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ a sin(2πx n )
×Ø ÓÖÑÑ ÔÔÖÖÖÓÐÐÕÙÙ Ò× Ð³³ÒØØÖÚÚÐÐÐ [0, 1]
¾
º
ÄÄ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØØÓÒ ÖÖÔÔÔÕÙÙ × ÓÙÔÐÐ× [x n , x n+1 ] Ò× ÐÐ ÔÐÐÒ ´x n , x n+1 µ
´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º¿µ ÙÜ ÖÖÑÑÖÕÙÙ× ´´µ Ò ÔÔØ Ù Ø ÕÙÙ X(t) ×ÓÓØ
ÖÖÖØØÕÙÙ¸ ÐÐ ÓÙÖÖÖ x n+1 = f (x n ) ÒÒ Ð³³×Ø ÔÔ× Ù ØÓÙØ ÐÐÐ ×Ø ÑÑÑÑ ØÓÒ¹
ÒÒÑÑÑÒØ ÖÖÖÙÐÐÐÖÖ ÆÓÙ× Ò×× Ù Ò × ÔÖÖÑÑÑÖ× ÖÖ×ÙÐØØØ× ×××¹
ÒÒÒØ× ÖÖÖÖÖÖ Ð³³ÔÔÔÖÖÒÒÒ Ù Ó׸ ×× Ú ÙÒÒ ÖØØØÒÒ
ÖÖÖÙÐÐÖÖØغ Ò Ø¸ ØØØ ÖÖÖÙÐÐÖÖØØ ØÖÖÖÙÙØ ÐÐ ØØÖÑÑÒÒ×ÑÑ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ³³ÚÓ¹
¾ ÆÓÙ× ÓÒ×××ÐÐÓÒ× Ù ÐÐÐØØÙÖ ÔÖÖØØÕÙÙÖ Ð³³ÜÜÖÖÖÖÖ ×ÙÙÚÒØ ÓÔØØÖ ÐÐ ÐÓÓ ÖÖÖÙÖÖÖÒÒÒ
Ò x n+1 = a sin(2πxn) ÔÓÙÖ ÖÖÖÖÖÖÖ ØÓÙØØ× ÐÐ× ÒÒÐÝ××× Ø Ò×× ÓÒ×ØØØØÖ ÕÙÙ ÐÐ×
ÖÖ×ÙÐØØØ× ÓÓØØÒÙ× ÚÚÚ ØØØ ÒÓÙÚÚÐÐÐ ÜÔÖÖ×××ÓÒ ×ÓÒØ ××ÑÑÐÐÐÖÖ× ÙÜ ÖÖ×ÙÐØØØ× ××Ù× Ð³³ÒÒÐÝ××
ÐÐ ÐÓÓ Ò x n+1 = 4axn(1 − xn)º