º ÁÒØÖÓÓÙÙØØÓÒ Ù
½½¿
ÓÒÒØØÓÒ n ÔÓÙÖ ÚÚÐÐÙÖ a ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º½µº ÈÓÙÖ ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ
Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a ÔÔØØØØ ´´ººº a < 3/4¸ Ú ÓÓÖ ¹¹ÔÖÖ×µ¸ ÒÓÙ× ÓÒ×ØØØÓÒ× ÕÙÙ¸
ÕÙÙÐÐÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÒÒØØØÐÐ x 0 ¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÒÚÚÖÖÖ ØÓÙÙÓÙÖ× ÚÚÖ× ÐÐ ÑÑÑÑ
ØØØ ÒÒÐ ÔÖÖ× N ØØÖÖØØÓÒ× ´´³³³ÐÐÐÙÖ× ÕÙÙÐÕÙÙ× ØØÖÖØØÓÒ× ×ÙÙ××ÒØ ÔÓÙÖ ÐÐ
ÓÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÚÚÖ× Ð³³ØØØ ÒÒÐ ÙÒÒ ÔÖÖÖÖ××ÓÒ× ÑÓÓÒ× 1% Ø ÝÔÔÕÙÙÑÑÒØ
½¼¼ ØØÖÖØØÓÒ× ÙÒÒ ÔÖÖÖÖ××ÓÒ ÑÓÓÒ× 10
−4
µº Ù ÙÖ Ø ÑÑ×ÙÖÖ
ÕÙÙ ÐÐ ÚÐÐÙÖ a ÒÓÙ× ÓÓ××ÖÚÓÒ× ÙÒÒ Ó×××ÐÐÐØØÓÒ¸ ÔÔÖÖÓÓÓ ÐÐ
гÙÒÒØظ ÔÙÙ× ÙÒÒ Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ÔÔÖÖÓÓÓ ¾¸ ÔÙÙ× ¸ Øغ Ù¹¹¹ÐÐ ³ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ
××ÙÙÐ a ´ÚÓÓÖ ¹¹¹××ÓÙ×µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒ ×××ÒÒÐ ÖÖÖÖÙÐÐÐÖ¸ ÓÓ ÙÙÙÒÒ ×
×ÓÐÙØØÓÒ× ÓÓØØÒÙÙ× Ù ÓÙÖ× × ØØÖÖØØÓÒ× ÒÒ ××ÑÑÐÐ ×× ÖÖÔÔØØÖ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ×
ÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÓÓÓÓÓØØ ×Ø ÚÒÙÙ ÒÒÒÒÒ ´´³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ×××ÒÒÐ ÒÒ ÔÔÙØ
ÖÖØÖÓÙÚÚÖ ÐÐ ÑÑÑÑ ÚÚÐÐÙÖ Ù ³ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÒÒ¸ ÑÑÑ× ÖÖÒÒ¸
³³ØØÖÖØØÓÒ×µº ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ Ò ÖÖÔÔØØÒØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÓÔÔÖÖØØÓÒ Ú ÙÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ
ÒÒØØØÐÐ x 0 ØÖÖ× ÐÐÐÐÖÖÑÑÒØ ÐÐ ××ÖÖÖ × ÒÓÑÑÖÖ× x n ¸ ØÓÙØ Ù××× Ö¹
ÖÖÖÙÐÐÐÖÖ¸ ÖÖÔÔÔÔÑÑÒØ Ø Ð ××ÖÖÖ ÓÓØØÒÙÙ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒغ × ×××ÒÒÙÜ
ÖÖÖÖÙÐÐÐÖ× ×ÓÒØ Ø× ÓØØÕÙÙ׸ ¸ Ø × Ó Ò Ø ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ ³ÙÒÒ ÖÖÒÒÒ ××Ò××××ÐÐØØ ÙÜ
ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ׺
º¿ ÇÖÖÖÖÒÒ Ø ×××ÒÒÒÒÒØØÓÒ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ
f (x) = 4ax(1 − x)
ij³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f (x) = 4ax(1 − x)¸ ØÓÙØØ ×××ÒÒÒØØ ÕÙ³³ÐÐÐ ×ÓÓØ ×ÙÖ ÙÒ ÔÐÐÒ
ÔÙÖÖÑÑÒØ ÑÑØØØÑÑØØÕÙÙ¸ Ò³³×Ø ÔÔ× ÕÙ³ÙÒ ××ÑÔÐÐ Ù ³³×ÔÖÖظ ÑÑÑ× ÐÐÐ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ
Ù××× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÖØØØÒ× ×Ý×ØØÑÑ× ÖÖÖÐ׺
ÆÓÙ× ÚÓÒ× ÚÙ ÙÜ ÔÔØÖÖ× ÔÖÖÖÖÖÖÒØ× ÕÙÙ ÒÓÑÖÖÙÜ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ×
ÐÐ ÒÒØÙÖÖ ×ÓÒØ ÖÖØ× ÔÔÖ × ÑÓÓÓÐÐ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÖÖÔÖÖ××ÒØØ× ÔÔÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ
³³ÕÙÙØØÓÒ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ׸ ØØÐ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÊÊ××ÐÐÖ Ù ÒÓÑ Ù
ÐÐÐÑÑÒÒ ÇØØÓ º ÊÊ××ÐÐÖ ´½½½¼¹ µ ÕÙ٠г³ ÔÖÓÔÓ×× Ò ½½½½ ´ÚÓÓÖ
ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ µ Ð ÓÒ×ØØØÙÙ ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÙÒ ÑÓÓÓÐÐ ÔÖÓØÓØÝÔÔ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ×
ÓÒØØÒÙ× Ò× ÐÐ ØØÑÔ׺ ÓÒÒÙ ÓÖÖÖÖÒÒÐÐÐÑÑÒØ ×ÙÖ ÙÒÒ ×× ÓÖÑÑÐÐи
ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÊÊ××ÐÐÖ ÒÓÑÑÖÖÙÜ ÔÓÓÒØ× ÓÑÑÙÒ× ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÄÓÖÖÒÞ
Ò×ÔÔÖÖ ÔÔÖ ÐÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ ÖÒÒÒÖ ¸ Ò Ø¸ ØØ Ò ½½½¿ ÔÔÖ ÐÐ ÑÑØع
ÑÑØØØØØÒ Ø ÑÑØØÓÖÓÐÓÓÙÙ ÑÑÖÖÖÖÖÒ ÛÖÖ ÆÓÖØÓÒ ÄÓÖÖÒÞ ´½½½½¹¾¼¼¼µ ÔÓÙÖ
ÖÖÖÖ ÐÐ ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ××ÑÔÐÐÐÐ × ÖÓÙÐÐÐÙÜ Ð³³ØÑÓ×ÔÔÔÖÖ ½ º
ÄÄ ÑÓÓÓÐÐ ÊÊ××ÐÐÖ ×Ø ÖÖØ ÔÔÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× ÖÖÒØØØÐÐÐ×
ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ØÖÓÓ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ׸ ×ÓÓØ ØÖÓÓ× ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ X(t)¸ Y (t) Ø Z(t)
˙
X = −Y − Z
˙
Y = X + αY
˙
Z = β + XZ − γZ
´´ººµ
½ ÄÄ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× Ð³³ØØÖÖÖØØÙÖ ÄÓÖÖÒÞ ×³³³ÖÖØ ÓÑÑÑ ˙
X = α(Y − X)¸
˙
Y = −XZ + βX − Y ¸ ¸ Ø ˙
Z = XY − γZ ÓÓ X ×Ø ÖÖÐÐÐÐ ÐÐ ÚÚØØ××× Ð³³ØÑÓ×ÔÔÔÖÖ¸ Ø Y Ø
Z ÐÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ µ µØ α¸ β Ø γ ×ÓÒØ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐк
½½¿
ÓÒÒØØÓÒ n ÔÓÙÖ ÚÚÐÐÙÖ a ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ º½µº ÈÓÙÖ ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ
Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ a ÔÔØØØØ ´´ººº a < 3/4¸ Ú ÓÓÖ ¹¹ÔÖÖ×µ¸ ÒÓÙ× ÓÒ×ØØØÓÒ× ÕÙÙ¸
ÕÙÙÐÐÐ ÕÙÙ ×ÓÓØ ÐÐ ÚÚÐÐÙÖ ÒÒØØØÐÐ x 0 ¸ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÒÚÚÖÖÖ ØÓÙÙÓÙÖ× ÚÚÖ× ÐÐ ÑÑÑÑ
ØØØ ÒÒÐ ÔÖÖ× N ØØÖÖØØÓÒ× ´´³³³ÐÐÐÙÖ× ÕÙÙÐÕÙÙ× ØØÖÖØØÓÒ× ×ÙÙ××ÒØ ÔÓÙÖ ÐÐ
ÓÒÚÚÖÖÖÒÒÒ ÚÚÖ× Ð³³ØØØ ÒÒÐ ÙÒÒ ÔÖÖÖÖ××ÓÒ× ÑÓÓÒ× 1% Ø ÝÔÔÕÙÙÑÑÒØ
½¼¼ ØØÖÖØØÓÒ× ÙÒÒ ÔÖÖÖÖ××ÓÒ ÑÓÓÒ× 10
−4
µº Ù ÙÖ Ø ÑÑ×ÙÖÖ
ÕÙÙ ÐÐ ÚÐÐÙÖ a ÒÓÙ× ÓÓ××ÖÚÓÒ× ÙÒÒ Ó×××ÐÐÐØØÓÒ¸ ÔÔÖÖÓÓÓ ÐÐ
гÙÒÒØظ ÔÙÙ× ÙÒÒ Ó×××ÐÐÐØØÓÒ ÔÔÖÖÓÓÓ ¾¸ ÔÙÙ× ¸ Øغ Ù¹¹¹ÐÐ ³ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ
××ÙÙÐ a ´ÚÓÓÖ ¹¹¹××ÓÙ×µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÒ ×××ÒÒÐ ÖÖÖÖÙÐÐÐÖ¸ ÓÓ ÙÙÙÒÒ ×
×ÓÐÙØØÓÒ× ÓÓØØÒÙÙ× Ù ÓÙÖ× × ØØÖÖØØÓÒ× ÒÒ ××ÑÑÐÐ ×× ÖÖÔÔØØÖ ÒÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ×
ÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ÔÔÖÖÓÓÓÓÓØØ ×Ø ÚÒÙÙ ÒÒÒÒÒ ´´³³×ع¹¹¹¹ÖÖ ÕÙÙ ÐÐ ×××ÒÒÐ ÒÒ ÔÔÙØ
ÖÖØÖÓÙÚÚÖ ÐÐ ÑÑÑÑ ÚÚÐÐÙÖ Ù ³ÙÒ ÒÓÑÑÖÖ ÒÒ¸ ÑÑÑ× ÖÖÒÒ¸
³³ØØÖÖØØÓÒ×µº ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ Ò ÖÖÔÔØØÒØ ÐÐ ÑÑÑÑ ÓÔÔÖÖØØÓÒ Ú ÙÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ
ÒÒØØØÐÐ x 0 ØÖÖ× ÐÐÐÐÖÖÑÑÒØ ÐÐ ××ÖÖÖ × ÒÓÑÑÖÖ× x n ¸ ØÓÙØ Ù××× Ö¹
ÖÖÖÙÐÐÐÖÖ¸ ÖÖÔÔÔÔÑÑÒØ Ø Ð ××ÖÖÖ ÓÓØØÒÙÙ ÔÖÖÖÖÖÖÑÑÑÒغ × ×××ÒÒÙÜ
ÖÖÖÖÙÐÐÐÖ× ×ÓÒØ Ø× ÓØØÕÙÙ׸ ¸ Ø × Ó Ò Ø ÐÐ ÖÖ×ÙÐØØØ ³ÙÒÒ ÖÖÒÒÒ ××Ò××××ÐÐØØ ÙÜ
ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒØØØÐÐ׺
º¿ ÇÖÖÖÖÒÒ Ø ×××ÒÒÒÒÒØØÓÒ Ð³³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ
f (x) = 4ax(1 − x)
ij³ÔÔÐÐÐÐØØÓÒ f (x) = 4ax(1 − x)¸ ØÓÙØØ ×××ÒÒÒØØ ÕÙ³³ÐÐÐ ×ÓÓØ ×ÙÖ ÙÒ ÔÐÐÒ
ÔÙÖÖÑÑÒØ ÑÑØØØÑÑØØÕÙÙ¸ Ò³³×Ø ÔÔ× ÕÙ³ÙÒ ××ÑÔÐÐ Ù ³³×ÔÖÖظ ÑÑÑ× ÐÐÐ ÖÖÔÖÖ××ÒØØ
Ù××× ÐÐ ÝÒÒÑÑÕÙÙ ÖØØØÒ× ×Ý×ØØÑÑ× ÖÖÖÐ׺
ÆÓÙ× ÚÓÒ× ÚÙ ÙÜ ÔÔØÖÖ× ÔÖÖÖÖÖÖÒØ× ÕÙÙ ÒÓÑÖÖÙÜ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ×
ÐÐ ÒÒØÙÖÖ ×ÓÒØ ÖÖØ× ÔÔÖ × ÑÓÓÓÐÐ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ÖÖÔÖÖ××ÒØØ× ÔÔÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ
³³ÕÙÙØØÓÒ× ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ׸ ØØÐ ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÊÊ××ÐÐÖ Ù ÒÓÑ Ù
ÐÐÐÑÑÒÒ ÇØØÓ º ÊÊ××ÐÐÖ ´½½½¼¹ µ ÕÙ٠г³ ÔÖÓÔÓ×× Ò ½½½½ ´ÚÓÓÖ
ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ µ Ð ÓÒ×ØØØÙÙ ÑÑÑÒØØÒÒÒØ ÙÒ ÑÓÓÓÐÐ ÔÖÓØÓØÝÔÔ ÔÔÔÒÓÑÑÒÒ×
ÓÒØØÒÙ× Ò× ÐÐ ØØÑÔ׺ ÓÒÒÙ ÓÖÖÖÖÒÒÐÐÐÑÑÒØ ×ÙÖ ÙÒÒ ×× ÓÖÑÑÐÐи
ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÊÊ××ÐÐÖ ÒÓÑÑÖÖÙÜ ÔÓÓÒØ× ÓÑÑÙÒ× ÐÐ ÑÓÓÓÐÐ ÄÓÖÖÒÞ
Ò×ÔÔÖÖ ÔÔÖ ÐÐ ÔÔÝ××ÕÙÙ ÖÒÒÒÖ ¸ Ò Ø¸ ØØ Ò ½½½¿ ÔÔÖ ÐÐ ÑÑØع
ÑÑØØØØØÒ Ø ÑÑØØÓÖÓÐÓÓÙÙ ÑÑÖÖÖÖÖÒ ÛÖÖ ÆÓÖØÓÒ ÄÓÖÖÒÞ ´½½½½¹¾¼¼¼µ ÔÓÙÖ
ÖÖÖÖ ÐÐ ÑÓÙÚÚÑÑÒØ ××ÑÔÐÐÐÐ × ÖÓÙÐÐÐÙÜ Ð³³ØÑÓ×ÔÔÔÖÖ ½ º
ÄÄ ÑÓÓÓÐÐ ÊÊ××ÐÐÖ ×Ø ÖÖØ ÔÔÖ ÙÒ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× ÖÖÒØØØÐÐÐ×
ÒÓÒ ÐÐÒÒÒÒÖÖ× ØÖÓÓ× ÚÚÖÖÖÖÐÐ׸ ×ÓÓØ ØÖÓÓ× ÖÖ× ÐÐÐÐÖØØ X(t)¸ Y (t) Ø Z(t)
˙
X = −Y − Z
˙
Y = X + αY
˙
Z = β + XZ − γZ
´´ººµ
½ ÄÄ ×Ý×ØØÑÑ ³³ÕÙÙØØÓÒ× Ð³³ØØÖÖÖØØÙÖ ÄÓÖÖÒÞ ×³³³ÖÖØ ÓÑÑÑ ˙
X = α(Y − X)¸
˙
Y = −XZ + βX − Y ¸ ¸ Ø ˙
Z = XY − γZ ÓÓ X ×Ø ÖÖÐÐÐÐ ÐÐ ÚÚØØ××× Ð³³ØÑÓ×ÔÔÔÖÖ¸ Ø Y Ø
Z ÐÐ ØØÑÔÔÖÖØÙÖÖ ´ÚÓÓÖ ÖÖÖÖÖÖÒÒÒ µ µØ α¸ β Ø γ ×ÓÒØ × ÔÔÖÖÑÑØÖÖ× ÓÒØÖÖÐк